不要被阶乘吓倒[转]

http://www.kuqin.com/algorithm/20080505/7874.html

阶乘（Factorial）是个颇有意思的函数，可是很多人都比较怕它，咱们来看看两个与阶乘相关的问题：

1.   给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有两个0。

2.   求N！的二进制表示中最低位1的位置。

解答：

有些人碰到这样的题目会想：是否是要完整计算出N！的值？若是溢出怎么办？事实上，若是咱们从“哪些数相乘能获得10”这个角度来考虑，问题就变得简单了。

首先考虑，若是N！= K×10^M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）…，因为10 = 2×5，因此M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘能够获得一个10，因而M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，由于能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，因此把公式简化为M = Z。

根据上面的分析，只要计算出Z的值，就能够获得N！末尾0的个数。

【问题1的解法一】

要计算Z，最直接的方法，就是计算i（i =1, 2, …, N）的因式分解中5的指数，而后求和：

代码清单2-6

 1 ret = 0;
 2 for(i = 1; i <= N; i++)
 3 {
 4     j = i;
 5     while(j % 5 ==0)
 6     {
 7         ret++;
 8         j /= 5;
 9     }
10 }

【问题1的解法二】

公式：Z = [N/5] +[N/5²] +[N/5³] + …（不用担忧这会是一个无穷的运算，由于总存在一个K，使得5^K > N，[N/5^K]=0。）

公式中，[N/5]表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5，[N/5²]表示不大于N的数中5²的倍数再贡献一个5，……代码以下：

1 ret = 0;
2 while(N)
3 {
4     ret += N / 5;
5     N /= 5;
6 }

 

问题2要求的是N！的二进制表示中最低位1的位置。给定一个整数N，求N！二进制表示的最低位1在第几位？例如：给定N = 3，N！= 6，那么N！的二进制表示（1 010）的最低位1在第二位。

为了获得更好的解法，首先要对题目进行一下转化。

首先来看一下一个二进制数除以2的计算过程和结果是怎样的。

把一个二进制数除以2，实际过程以下：

判断最后一个二进制位是否为0，若为0，则将此二进制数右移一位，即为商值（为何）；反之，若为1，则说明这个二进制数是奇数，没法被2整除（这又是为何）。

因此，这个问题实际上等同于求N！含有质因数2的个数。即答案等于N！含有质因数2的个数加1。

【问题2的解法一】

因为N! 中含有质因数2的个数，等于 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …[1]，

根据上述分析，获得具体算法，以下所示：

代码清单2-7

 1 int lowestOne(int N)
 2 {
 3     int Ret = 0;
 4     while(N)
 5     {
 6         N >>= 1;
 7         Ret += N;
 8     }
 9     return Ret;
10 }

【问题2的解法二】

N！含有质因数2的个数，还等于N减去N的二进制表示中1的数目。咱们还能够经过这个规律来求解。

下面对这个规律进行举例说明，假设 N = 11011，那么N!中含有质因数2的个数为 N/2 + N/4 +N/8 + N/16 + …

即： 1101 + 110 + 11 + 1

                    =（1000 + 100 + 1）

                    +（100 + 10）

                    +（10 + 1）

                    + 1

                    =（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1

                    = 1111 + 111 + 1

                    =（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）

                    = 11011-N二进制表示中1的个数

小结

任意一个长度为m的二进制数N能够表示为N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 2² + … + b[m] * 2^(m-1)，其中b [ i ]表示此二进制数第i位上的数字（1或0）。因此，若最低位b[1]为1，则说明N为奇数；反之为偶数，将其除以2，即等于将整个二进制数向低位移一位。

相关题目

给定整数n，判断它是否为2的方幂（解答提示：n>0&&（（n&（n-1））==0））。

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[1]  这个规律请读者本身证实（提示N/k，等于1, 2, 3, …, N中能被k整除的数的个数）。

 网友： Bleakxanadu

一、分解出N！中素数5的个数；

二、分解出N！ 中2的个数

网友： jijunchao@gmail

 

今天上午上课又想了想这个问题，对第二个问题也有解法了。

第一题：0的个数等于n/5；

第二题：对于二进制的乘法，要求最低位1的位置，也就是求末尾有几个0，根据乘法规则，只有乘数末尾带有0，结果才会增长0，也就是偶数参与乘法时，末尾的0才会增长。并且还有个规律，对于2的n次方，它的阶乘二进制中最低位1的位置就等于它自己，例如，4的阶乘为24，表示为11000，最低位1的位置从右边算起就是第4位。根据这一规律，我写了一个小算法来求出最低位1的位置，要求输入n，输出1的位置。

 1 int find(int n) 
 2 { 
 3          int out,i;
 4          if(n==1)       //1!=1
 5                    out=1;
 6          else if(n==2)  //2!=2  二进制10
 7                    out=2;
 8          else if(n==0) //0!=1,若是我没记错的话...
 9                    out=1;
10          else
11          {
12                    for(i=1;!(n/(i*=2)<2););  //求出最逼近n是2的几回方
13                    out=i-1+find(n%i);        //而后递归求输出位置
14          }
15          return out;
16 }  
17 void main()
18 {
19          int   i = 6;
20          printf("%d",find(i));
21         getchar();  
22 }

程序验证过应该是正确的。

不过说真的，这个问题若是出如今面试里面，我极可能答不出来，这要求对二进制运算比较熟悉，看来想去微软实习还得努力啊，给本身鼓劲！

期待《编程之美》，倒计时2天^_^

欢迎联系jijunchao@yahoo.com.cn，但愿不吝赐教。

您也能够访问www.miniuml.cn，是我之前作的一个uml建模工具，是我本科的主要工做成果之一。

网友： ZXEOC

一、当1<=N<=4的时候N!末尾没有0，当5<=N<=9的时候N!末尾有1个0，当10<=N<=14的时候N!末尾有2个0，以此类推

缘由：只有5的倍数与偶数相乘以及10的倍数会给最终结果的末尾加上0，而5的倍数比偶数少（偶数就是2的倍数嘛），因此只要计算有多少个5和0结尾的数参与乘法就好了，结果是N/5向下取整

二、假设最低位的1在第x位上，因为是二进制，因此这个数是2的x-1次方的奇数倍（若是是偶数倍，最低位1的位置就会向前移），换句话说，就是把N!不断除以2，一直到结果为奇数，而后算算除了多少次，+1就是结果了

网友： ZXEOC

“这个规律请读者本身证实（提示N/k，等于1, 2, 3, …, N中能被k整除的数的个数）。”

这个很简单，因为1……N是连续的整数数列，而连续的k个数中必然有且只有一个数能够被k整除，把N/k当作计算把1……N的数列从头切割成多少个连续k个数的数列就好了

“给定整数n，判断它是否为2的方幂”

 网友： ZXEOC

“给定整数n，判断它是否为2的方幂”

这个只要把n转成二进制就好了吧，2的幂的话，二进制表示必定是只有前面一个1，后面都是0的

PS：2就是二进制里的“10”，因此这道题就跟求“一个十进制数是否是10的幂”一个道理

网友： Stupidmxx

第一题应该是N/5+N/25+N/125+...嘛

int countOfZero(int N) {

  int base = 5, div = 5, cnt = 0;

  while(div <= N) {

    cnt += N / div;

    div *= base;

  }

  return cnt;

}

 

第二题转下思路就变成求N的阶乘分解因子后2的个数了，把上面程序的base和div改为2就OK了。不过考虑到除2的特殊性，能够改写成以下版本：

int countOfTwo(int N) {

  int cnt = 0, tem = N;

  while(tem != 0) {

    cnt += tem >> 1;

  }

  return cnt;

}

来自：http://www.msra.cn/Articles/ArticleItem.aspx?Guid=a2cdc9c6-4a40-49ca-8765-1d0299367814

 http://www.blogjava.net/Jack2007/archive/2008/10/18/235152.html