《数学分析原理》笔记之无理数的引入

说明：《数学分析原理》指 г.м.菲赫金哥尔茨 著《数学分析原理》（第一卷 第九版）高等教育出版社

 

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整数和分数统称为有理数。有理数域不能彻底知足数学定义的需求，好比人们没法将一个边长为1的正方形的对角线长度表示为有理数，也即 没有一个其平方能等于2的有理数 ${\frac{{p}}{{q}}}$（${p}$ 与 ${q}$ 是两个天然数）存在（须要说明的是原书中的天然数至关于咱们说的正整数）。下面记录书中用反证法证实这一结论的过程。

 

证实 1

论点：没有一个其平方能等于2的有理数 ${\frac{{p}}{{q}}}$ （${p}$ 与 ${q}$ 是两个天然数）存在

证法：反证法

证实：假定有这样的分数 ${\frac{{p}}{{q}}}$ 存在，使得 ${{ \left( {\frac{{p}}{{q}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ }=\text{ }2}$ 。能够假设这个分数是既约的，也就是说 ${p}$ 与 ${q}$ 无公因子，不可再约分。因 ${p\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ }=\text{ }2q\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$，因此 ${p}$ 是偶数。因 ${\frac{{p}}{{q}}}$ 既约，于是 ${q}$ 是奇数。设 ${p=2r}$（${r}$是整数），则有 ${p\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ }=\text{ }2q\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ }=\text{ }4r\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$，进而 ${q\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ }=\text{ }2r\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$ ，由此可推得 ${q}$ 是偶数，这与假设相矛盾，论点得证。

 

　　有理数域的不足在几何中简单地表现为 “不是全部的线段都能有长度”。例如，上述边长为1的正方形其对角线长度的平方为2，但其对角线长度自身不能用有理数表示，这可由论点1得出。

书中扩充有理数域、定义无理数是经过记录德国数学家戴德金关于讨论有理数域内分割的概念得出的。考虑把所有有理数的集合分红两个非空集合${A}$和${A'}$，即假定：

　　1. 每个有理数在并且只在 ${A}$ 或 ${A'}$ 两个集合中的一个

　　2. 集合${A}$中的每个数 ${a}$小于集合 ${A'}$ 中的每个数 ${a'}$

知足这两个条件的对有理数域的分法称为“分割”。其中集合 ${A}$ 叫作分割的下类，集合${A'}$叫作上类，分割可用 ${A|A'}$ 表示。书中证实，分割只能有如下三个类型：

1) 在下类 ${A}$ 中没有最大的数，而在上类 ${A'}$ 中有最小的数 ${r}$；

2) 在下类 ${A}$ 中有最大的数 ${r}$，而在上类 ${A'}$ 中没有最小的数；

3) 既在下类中没有最大的数，又在上类中没有最小的数。

前两种分割是由有理数 ${r}$ 产生的（ ${r}$ 是 ${A}$ 与 ${A'}$ 两类中间的界数），或者说，这分割定义了有理数 ${r}$。第三种情形下的界数在有理数域不存在，分割不能定义任何有理数，故而引进了无理数，且规定 任何属于类型 3) 的分割定义了某一个无理数${α}$，${α}$就代替这缺乏的界数。

下面用图示简单表示这三种情形，并证实第三种情形。

分割一：

 

 

 分割二：

 

 分割三：

 

下面先记录书中对分割三第一种情形的证实，再仿照方法证实第二种情形。

 

证实 2

论点：在有理数域内，把一切使 ${a\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ } < \text{ }2}$ 的正有理数${a}$、${0}$及一切负有理数都纳入${A}$类，把一切使 ${\mathop{{a'}}\nolimits^{{2}}\text{ } > \text{ }2}$ 的正有理数${a'}$ 纳入${A'}$ 类，证实在 ${A}$ 类中既无最大数，在 ${A'}$ 类中也无最小数。

证法：放缩法不等式证实

证实：

　　(1). 首先，证实在 ${A}$ 类中无最大数

　　咱们只需显示证实 ${a\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ } < \text{ }2}$ 的状况，${a\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ } \le \text{ }0}$ 的状况很明显成立。

　　设 ${a}$ 是 ${A}$ 类中的任一整数，则有${a\mathop{{}}\nolimits^{{2}} < 2}$，咱们需证实若是能够有正数${n}$，使得

　　　　${{ \left( {a+\frac{{1}}{{n}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ } < \text{ }2}$　　　　(1)，

也就是说让 ${a+\frac{{1}}{{n}}}$ 也属于${A}$类。展开不等式并移项可得

　　${\frac{{2a}}{{n}}+\frac{{1}}{{n\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}}\text{ } < \text{ }2-a\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$　　　　(2)

又对于正数${n}$，不妨取 ${n > 1}$，则有 

${\frac{{1}}{{n\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}}\text{ } < \text{ }}\frac{{1}}{{n}}$

不等式两边同时加正数 ${\frac{{2a}}{{n}}}$ 可得

${\frac{{2a}}{{n}}+\frac{{1}}{{n\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}}\text{ } < \text{ }\frac{{2a}}{{n}}+\frac{{1}}{{n}}}$

亦即 ${\frac{{2a}}{{n}}+\frac{{1}}{{n\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}}\text{ } < \text{ }\frac{{2a\text{ }+1}}{{n}}}$

若是 ${n}$ 知足不等式 ${{\frac{{2a\text{ }+1}}{{n}}}\text{ } < \text{ }2-a\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$ ，则不等式成立 (2) 成立，进而不等式 (1) 成立。为此，只要取

　　${n\text{ } > \text{ }\frac{{2a+1}}{{2-a\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}}}$

便可。因而可知，不管 ${a}$ 是 ${A}$ 类中怎样的一个正数，在 ${A}$ 类中总能找到大于 ${a}$ 的数。联系 ${a\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ } \le \text{ }0}$ 的状况，在 ${A}$ 类中无最大数得证。

　　(2). 同理，证实在${A'}$类中无最小数

　　设 ${a'}$ 是 ${A'}$ 类中的任一整数，则有 ${\mathop{{a'}}\nolimits^{{2}}\text{ } > \text{ }2}$。咱们需证实若是能够有正数 ${n}$ 使得

　　　　${{ \left( {a'-\frac{{1}}{{n}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ } > \text{ }2}$　　　　(3)

　　也就是说让 ${a'-\frac{{1}}{{n}}}$ 也属于 ${A'}$ 类。展开不等式 (3) 并移项可得：

　　　　${\frac{{1}}{{n\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}}\text{ }-\text{ }\frac{{2a'}}{{n}}\text{ } > \text{ }2\text{ }-\text{ }a'\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$　　　　(4)

　　对于正数 ${n}$，取 ${0 < n < 1}$，则有

　　　　${\frac{{1}}{{n\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}}\text{ } > \text{ }\frac{{1}}{{n}}}$

　　不等式两边同时减去 ${\frac{{2a'}}{{n}}}$ 可得

　　　　${\frac{{1}}{{n\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}}\text{ }-\text{ }\frac{{2a'}}{{n}}\text{ } > \text{ }\frac{{1}}{{n}}\text{ }-\text{ }\frac{{2a'}}{{n}}}$

　　亦即 ${\frac{{1}}{{n\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}}\text{ }-\text{ }\frac{{2a'}}{{n}}\text{ } > \text{ }\frac{{1-2a'}}{{n}}}$

　　若是 ${n}$ 知足不等式 ${\frac{{1-2a'}}{{n}}\text{ } > \text{ }2\text{ }-\text{ }a'\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}$，则不等式 (4) 成立，进而不等式 (3) 成立。

　　为此，只要取 

　　　　${n\text{ } < \text{ }\frac{{1-2a'}}{{a'\mathop{{}}\nolimits^{{2}}-2}}}$

　　便可。由此，不管${a'}$ 是 ${A'}$ 类中怎样的一个正数，在 ${A'}$ 类中总能找到小于 ${a'}$ 的数。故，在 ${A'}$ 类中无最小数得证。

 

分割三在有理数域不存在界数，但能够在无理数域找到这个界数就是 ${{\sqrt{{2}}}}$。

事实上，在引进了无理数后，前述三种分割也能够统一块儿来。这创建在一下两个规定之上：

(1). 有理数和无理数统称为实数

(2). 将界数归到上类

这样，在实数域内定义的分割就是：

在下类 ${A}$ 中没有最大的数，而在上类 ${A'}$ 中有最小的数 ${r}$ 。