AVL树

详细描述，好像跟我本身写的差很少......不过终究是大神级别，讲的就是透彻

1. 概述

AVL树是最先提出的自平衡二叉树，在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差异为一，因此它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏状况下都是O（log n），增长和删除可能须要经过一次或屡次树旋转来从新平衡这个树。

2. 基本术语

有四种种状况可能致使二叉查找树不平衡，分别为：

（1）LL：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的左子树（Left），致使根节点的平衡因子由1变为2

（2）RR：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的右子树（Right），致使根节点的平衡因子由-1变为-2

（3）LR：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的右子树（Right），致使根节点的平衡因子由1变为2

（4）RL：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的左子树（Left），致使根节点的平衡因子由-1变为-2

针对四种种状况可能致使的不平衡，能够经过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转：

（1）左旋转：将根节点旋转到（根节点的）右孩子的左孩子位置

（2）右旋转：将根节点旋转到（根节点的）左孩子的右孩子位置

3. AVL树的旋转操做

AVL树的基本操做是旋转，有四种旋转方式，分别为：左旋转，右旋转，左右旋转（先左后右），右左旋转（先右后左），实际上，这四种旋转操做两两对称，于是也能够说成两类旋转操做。

基本的数据结构：

 1 typedef struct Node* Tree;  2 typedef struct Node* Node_t;  3 typedef Type int;  4  
 5 struct Node{  6  Node_t left;  7  Node_t right;  8  int height;  9  Type data; 10 }; 11 int Height(Node_t node) { 12  return node->height; 13 }

3.1 LL

LL状况须要右旋解决，以下图所示：

1 Node_t RightRotate(Node_t a) { 2  b = a->left; 3  a->left = b->right; 4  b->right = a; 5  a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right)); 6  b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right)); 7  return b; 8 }

3.2 RR

RR状况须要左旋解决，以下图所示：

1 Node_t LeftRotate(Node_t a) { 2  b = a->right; 3  a->right = b->left; 4  b->left = a; 5  a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right)); 6  b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right)); 7  return b; 8 }

3.3 LR

LR状况须要左右（先B左旋转，后A右旋转）旋解决，以下图所示：

1 Node_t LeftRightRotate(Node_t a) { 2  a->left = LeftRotate(a->left); 3  return RightRotate(a); 4 }

3.4 RL

RL状况须要右左旋解决（先B右旋转，后A左旋转），以下图所示：

1 Node_t RightLeftRotate(Node_t a) { 2  a->right = RightRotate(a->right); 3  return LeftRotate(a); 4 }

4. AVL数的插入和删除操做

(1) 插入操做：实际上就是在不一样状况下采用不一样的旋转方式调整整棵树，具体代码以下：

 1 Node_t Insert(Type x, Tree t) {  2  if(t == NULL) {  3    t = NewNode(x);  4  } else if(x < t->data) {  5    t->left = Insert(t->left);  6    if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {  7     if(x < t->left->data) {  8      t = RightRotate(t);  9     } else { 10      t = LeftRightRotate(t); 11  } 12  } 13  } else { 14    t->right = Insert(t->right); 15    if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) { 16     if(x > t->right->data) { 17      t = LeftRotate(t); 18     } else { 19      t = RightLeftRotate(t); 20  } 21  } 22  } 23  t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1; 24  return t; 25 }

(2) 删除操做：首先定位要删除的节点，而后用该节点的右孩子的最左孩子替换该节点，并从新调整以该节点为根的子树为AVL树，具体调整方法跟插入数据相似，代码以下：

 1 Node_t Delete(Type x, Tree t) {  2  if(t == NULL) return NULL;  3  if(t->data == x) {  4   if(t->right == NULL) {  5    Node_t temp = t;  6    t = t->left;  7  free(temp);  8   } else {  9    Node_t head = t->right; 10    while(head->left) { 11     head = head->left; 12  } 13    t->data = head->data; //just copy data
14    t->right = Delete(t->data, t->right); 15    t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1; 16  } 17   return t; 18  } else if(t->data < x) { 19   Delete(x, t->right); 20   if(t->right) Rotate(x, t->right); 21  } else { 22   Delete(x, t->left); 23   if(t->left) Rotate(x, t->left); 24  } 25  if(t) Rotate(x, t); 26 }

5. 总结

AVL树是最先的自平衡二叉树，相比于后来出现的平衡二叉树（红黑树，treap，splay树）而言，它如今应用较少，但研究AVL树对于了解后面出现的经常使用平衡二叉树具备重要意义。

 

原文摘自：

参考：http://dongxicheng.org/structure/avl/