复杂性与临界性初探

1. 引言 - 复杂性与临界性

宇宙怎样以大爆炸中产生的几种基本粒子开始而以生命、历史、经济和文学了结？

为何大爆炸不造成粒子的一种简单的气体或凝聚成一个巨大的晶体呢？

针对这些问题，目前学界的主流见解是，天然界的复杂行为反映了有许多分支的大型系统会朝着均衡的临界态发展的一种趋势。这种方法偏离了平衡，并且微小的扰动可能致使很是巨大的不一样后果。

大多数的改变是经过灾难性的事件，而不是遵循一种平和渐变的路线来实现的。

而且，最重要的是，朝着这种很是微妙的态的演化并无受到任何来自外部因素的影响。这种态之因此创建起来仅仅是由于系统中的单个元素之间的动力学相互做用。

为了避免至于太抽象，让咱们看一看海滩上的孩子让沙粒缓缓流下而造成一堆沙的场景，

开始的时候，沙堆是平的，沙粒在附着的位置上靠的很近。它们的运动可以用单个沙粒的物理性质来理解。

堆沙的过程在继续，沙堆变得愈来愈陡峭，开始有少许沙粒沿着沙堆滑动。

对着时间的推移，沙粒的滑动愈来愈大。

最终，一些滑动的沙粒甚至跨越了整个沙堆或沙堆的大部分。从这个时间点开始，系统远离了平衡，于是它的行为再也不能用单个沙粒的行为来描述。雪崩造成了自身的内部力量，而这一点只有从对整个沙堆的性质的整体描述而不是单个沙粒的简化描述，才能得以理解。

换句话说，沙堆是一个复杂系统。

随处可见的复杂现象代表，天然界是做用在自组织临界态上面的。 

Relevant Link:   

《大天然如何工做：有关自组织临界性的科学》

 

2. 物理定律是简单的，大天然是复杂的

从大爆炸开始，宇宙就被假定为按照物理定律演变。经过分析实验和观察到的现象，物理学家已经很是成功地发现了这些定律。

物质包含原子，原子又由更基本的粒子如电子、质子、中子组成，而这些基本粒子又由夸克和胶子组成，如此循环往复。

天然界中的全部现象，从最大的由宇宙标识的尺度到最小的由夸克表明的层次，都应被一样的物理规律所解释。

• 譬如，牛顿第二定律 F=ma，它仅仅告诉咱们若是一个物体受到一个外力的做用一定要相应产生一个加速度。这个简单的定律足够用来描述一个苹果是如何落地地上、行星是如何围绕太阳转动、以及星系是如何互相被吸引的。
• 麦克斯韦方程描述了电流和磁场之间的相互做用，让咱们知道电车或者发电机是如何工做的。
• 爱因斯坦的相对论理论代表，当一个物体高速运动时，牛顿定律应当予以修正。
• 量子力学理论告诉咱们，原子中的电子只能处在有着特定能量的那些态上。电子从一个太激发到另外一个态上，根本不花时间。

这些物理定律十分简单，用写在几张纸上的数学方程就足以描述它们了。

物理的哲学思想从一开始就是最简原理：咱们周围的世界可以用简单的砖块的方式来理解。

然而，咱们不只仅生活在一个简单的、乏味的世界（只有一个恒星且周围围绕着一个行星、大量规则的水晶、简单的气体和液体）中。咱们天天遇到的不只仅是苹果落地的现象。

地球的表面是由山脉、海洋、岛屿、河流、火山、冰川和地震带组成的一个复杂的大总体，它们各自有本身的动态特性。不像很是有序或很是无序的系统。

咱们把有巨大变化性的系统称为复杂系统，这个大的变化性可能存在于一个广阔的长度标度的范围里。若是咱们不断放大，或调查得愈来愈深刻，咱们会在每一级放大发现变化，同时会出现愈来愈多的新的细节。

除了天文学和地球物理学以外，复杂性还包含更多的层次。

• 生物的生命在地球上已发展成数量巨大的不一样物种。许多物种包含数以十亿计的个体，它们之间以及它们与环境之间相互竞争及相互影响。
• 在生物学的一个极小的分支的末端咱们发现了人类本身。人类的身体和大脑是由相互做用的细胞的一种复杂系统组成的。
• 人类的历史，包含着巨变、战争、宗教以及政治体制的记录，已组成另外层次的复杂性，包括现代人类社会，其中经济由顾客、商人、盗贼、政府和经济学家组成。

无数的事实代表，物理定律决定一切的说法是不合适的。物理定律可以解释苹果是如何下落的，但不能解释为何牛顿做为复杂世界的一部分，会去观察那个苹果。

物理也解释不了苹果的来源。咱们没法架起一座桥梁，从咱们知道的物理定律适用的原子，通过复杂的有机分子的化学，到细胞的造成以及到那些细胞构成生命组织的排列。

 

3. 叙述与科学 -- 软科学与硬科学

习惯上将科学划分为两大类：

• 硬科学：可重复的事件能够经过那些反映天然界法则的数学表达式得以预言，例如物理、化学、分子生物学；
• 软科学：其中，由于它固有的变化性，只有对那些引人注目的事件的叙述性描述是可能的，例如历史、生物演化、经济学；

硬科学中的简化方法：先创建一个基本假设，而后与可重复实验进行比较。这种方法在软科学领域中是不适用的。

古生物学家和科普做家，史蒂芬.杰伊.古尔德在他的《美好的生命》这本书里做了详细的说明：

当科学家们试图解释历史的结果，那些在荣耀的历史中只发生过一次的极其复杂的事件，必须用历史的工具加以研究。合适的方法是把注意力集中在叙述上，而不是实验上。

古尔德认为，只有“叙述”才能被用到许多科学上，由于许多单个和不可预料的事件的结果是偶然的。演化或古生物学上的实验是互不相关的，由于没有什么东西是可以再现的。历史，包括历史的演化，也仅仅是“一件又一件该死的事情”，咱们能够过后来解释那些已经发生的事情，可是咱们不能预言未来会发生什么。

古尔德把事物的变化性，以及于是致使的复杂性，正确地归因于偶然性。历史事件依赖于及其偶然的事件，所以若是历史的录音带被重放不少次，而每次给予的初始条件都有微小的差异，那么每次出来的结果差异会相差巨大。

历史学家用一种叙事的语言解释事件的发生：

• 事件 A 致使事 件 B 以及事件 C 致使事件 D。
• 而后，由于事件 D 甚至事件 B 而致使事件 E,
• 然而若是事件 C 未曾发生过，那么事件 D 和 E 都不会发生。

历史的进程将会变换到另外一连串的事件，而这一切经过以一种叙事方式，很好地、同等地得以解释。

美洲的发现包含一长串的事件，对实际的结果来讲，每个事件都有其关键的历史重要性：

• 哥伦布的父母必须在一块儿
• 哥伦布必须得生下来
• 他必须到西班牙获取资助
• 天气必须很是合理，等等

历史是不能预料的，但并非不能解释的。目的是对特别事件的一个准确的、叙事般的记录。 

在软科学中，偶然性是广泛的、详尽的，长期的详尽预言是作不到的。

是历史和生物的什么潜在的性质使得它们对微不足道的偶然事件如此敏感？

换句话说，动力学中存在什么潜在的本质从而致使了事件的相互关联并进一步致使复杂性？

为何带有戏剧性广泛后果的事件可以发生？

带着这些疑问，咱们开始复杂性科学的讨论。

 

4. 复杂性理论能解释什么

须要明白的是，复杂性理论确定还不够完善。变化系统的变化性，意味着咱们不可能将全部细节的观察，都浓缩成一个个独立数学方程。即咱们没法像物理的基本定律同样，找到组成全部事物背后的基本元素独立数学方程。

相反，复杂性理论只能解释【为何有变化性】，或【哪一种特别类型可能出现】，而不是【某个特定系统的特定结果会怎么样】。复杂性理论永远不可能预言大象。

这直接致使的结果就是，复杂系统的一个广泛理论必须并且必然是抽象的。

例如，生命的理论原则上说必须可以描述演化的全部可能的情形。它应当可以描述火星上的生命的机理（若是火星上的确会有生命的话）。但这是极其不肯定的一步。咱们构造的任何广泛的理论都不能把实际的物种做为特定的参考。

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笔者思考：

这一点很相似几率统计与因果推理，在宏观上，咱们可以计算出目标事物的一个几率发生数值（例如98%），但这里所谓的几率值，仅仅是指对于总体来讲，不一样类型的事物各自的占比分布状况。咱们决不能将其直接应用到一个具体的对象实例上，由于对于某一个具体的实例来讲，这个98%的发生几率是不必定成立的，它存在浮动误差这个概念。

正如哲学家卡尔·玻普指出的那样，预言是咱们区分科学和伪科学的最好的办法，预言实际现象的统计性而不是预言某个特定的结果，是处理理论与实验之间冲突的一条至关合理而又通用的途径。 

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咱们应当学会把咱们从看问题仅仅看事情的自己这种方式中解脱出来！一个基本的科学观点才是真正重要的！

若是遵循传统的实验科学方法，把重点放在对细节的精确描述上，咱们可能会失去洞察力。生命的理论有多是过程的理论，而不是对那个过程当中的彻底偶然的细节的详细描述，例如人类的出现。 

这个理论必须是统计的，于是不能产生特定的细节。

在现今这个物质世界，也许太多的重点放在了对科学的细节性的预言或预告上。

• 在地球物理中，重点是放在预报地震或其余大的灾难上。
• 资助是根据预算机构和评审人断定成果会取得的进步而予以提供的。这就会致使假冒行为甚至行骗，更不用说有成就的科学家的补助金被抢走。
• 经济学的重点是预言证券价格以及其余经济指标，由于准确的预报容许你赚钱。 

实际上，物理学家们习惯了同几率理论打交道，由于不少时候，一项实验的特定的结果是不能预料的，只能知道一些统计特性。

物理中的三个基本理论都有统计的特性，

• 统计力学研究的是处于平衡态的大型系统，例如咱们周围空气中的气体原子。统计力学告诉咱们如何计算组成气体的许多原子的平均性质，例如温度和压强。这个理论没有告诉咱们全部单个原子的位置和速度（并且不管如何咱们也不可能关心到如此程度）
• 量子力学告诉咱们，不能同时测定一个小粒子（如电子）的特定位置和速度，而只是某个实验中在某个特定的位置发现某个粒子的概率。
• 混沌理论告诉咱们，许多简单的力学系统，例如周期性推进的钟摆，也可能显示出没法预料的行为。咱们没法精确知道通过一段长时间后钟摆的位置会在哪里，不管咱们对它的运动方程和初始状态了解得多么清楚。 

回到咱们本小节的问题，复杂理论能够解释什么？

若是咱们不能解决不可预料性的问题，那么怎么能有一个普适理论或者一门复杂科学呢？若是这样一个理论不能解释任何特定的细节，那么这个理论又企图解释什么呢？准确地说，一我的怎样才能对 照理论和事实呢？没有这关键的一步，就不能有科学。

幸运的是，在个别几个学科中有一部分无所不在的、广泛的、经验性的观察，这些现象就是

• 大雪崩事件的发生
• 分形
• 1/f 噪声
• 兹波夫定律

科学家发现，复杂理论就是解释这些现象的普适工具，这也是目前复杂性理论研究的最热门领域，人们相信，经过对这些领域的深刻研究，能够进一步揭示复杂性理论的底层逻辑与内涵。

咱们接下来逐一讨论这几个话题。  

 

5. 灾变遵循一种简单的统计模式

因为综合性特性，复杂系统能展现灾变行为，其中系统的某个部分能以多米诺效应的方式影响其余部分。

一种典型的灾变就是地震，地球中地壳的崩坍也是以这种方式传播由此而造成地震的，这当中伴随着巨大的能量。

0x1：地震能级和数量分布中蕴含的简单规律 -- 古登堡 -- 里特定律

研究地震的科学家们把每一个事件都同其余事件隔离开来并对它们进行个别的、叙述性的描述，从而企图在大的统计尺度上，寻找大事件的特别机制。这的确成功了！

科学家发现大大小小的地震的数量遵循一种使人难以想象的简单分布函数，也就是众所周知的【古登堡 -- 里特定律】。

每一个时刻大约有 1000 个在里特标度上大小为 4 的地震发生，有 100 个大小为 5 的地震发生，有 10 个大小为 6 的地震发生，等等。这个规律显示在下图中，

1974 至 1983 年期间美国东南部的新马里兰地震区中各类大小的地震的数量，点的大小代表了地震的大小

能够看到，在这个图上，古登堡 -- 里特定律表现为一条直线（在双对数尺度上）。

• 量级为 6 的地震的强度是量级为 5 的地震的强度的十倍
• 量级为 4 的地震的强度又是量级为 3 的地震的强度的十倍
• 量级为 8 的地震的能量要比量级为 1 的地震的能量高一千万倍，然后者至关于一辆大型卡车经过时形成的结果。

利用全球通用的地震手册，咱们能够把直线拓展到量级为 7 级、8 级及 9 级的地震的状况。这个规律是使人惊奇的 ! 一个像地球的表面，有山峰、有山谷、有湖泊，以及充满巨大变化的地理结构同样复杂的系统的各个部分的动力是如何像魔术同样产生如此简单的规律？

这个定律代表大地震并不占有特殊的地位，它们和小地震同样听从一样的规律，大地震并非黑天鹅事件。

所以，人们彷佛不该当设法找到对大地震的特定的解释，而是应当找到包括全部地震的广泛理论，不管这些地震是大仍是小。 

0x2：经济领域中商品价格波动区间分布中蕴含的简单规律 -- 列维分布 

在经济学方面，也存在一个同古登堡—里特定律同样的经验性的模式。

纽约 IBM 的 T·J·沃特森中心的贝罗特·曼得布罗特在 1996 年指出，证券、棉花以及其余商品价格低和高的波动的几率，听从一种很是简单的模式，也就是所谓的【列维分布】。

曼得布罗特收集了几年中棉花价格逐月波动的资料。他而后计算出月波动在各个区间（例如 10%到 20%之间、5%到 10%之间）的波动次数，而且把这些结果画在一个对数图上，

(a)曲线反映了30个月以内的棉花价格的月波动。(b)曲线显示了相关波动超过给定比例的月份的数目。注意从小的波动到大的波动的平滑过渡。直线代表了幂次规律。其余商品遵
从一样的模式。

正如古登堡 -- 里特定律同样，价格波动的分布近似地听从一条直线（即知足幂次规律）。价格波动是“标度自由的”，即波动没有典型的尺寸，或者说波动在任何尺寸上均可能有分布，正如地震没有一个典型的特征大小，这点很相似分形的性质。 

曼得布罗特研究了几种不一样的商品，而且发现它们都遵循一种相近的模式，可是他并无追溯他所观察到的规则行为的根源。当时的经济学家们大多都忽略了曼得布罗特所作的工做，最主要的是由于它并不适合广泛地被接受的情形。经济学家但愿摈弃大的事件，是由于这些事件可以被归因于特定的“不常见的状况”，例如贸易计划所致使的 1987 年 10 月经济大崩溃，以及购买力过剩所致使的 1929 年的经济大崩溃。

偶然性是统计中经常争论的话题。经济学家们一般在分析以前剔除或者删去那些带偶然性因素的资料。那些只发生过一次的事件怎么会听从一个广泛的理论呢？

然而，古登堡 -- 里特定律和列为分布告诉咱们，大事件和小事件遵循一样的规律。不少事实代表，那些大事件并无什么特别之处 , 除开他们可能带来的毁坏性的后果以外。 

0x3：生物演化进程中灭绝事件的分布中蕴含的简单规律

芝加哥大学的戴维·诺伯教授指出：在生物演化进程中，灭绝事件的分布听从一个平滑的分布，其中大的事件（例如白垩时代恐龙和其余一些物种的灭绝）和其余的小事件，都遵循必定的几率和规律发 生。

以 400 万年为一个时期，把地质时代划分为 150 个连续的时期。对每个时期他估算出自前一时期以来多大比例的物种已经消失，以下图所示：

这种估算是对灭绝率的一个测度。有时候灭绝率很小，不到 5% , 而有的时候灭绝率超过了 50%。

初看这个图，彷佛灭绝率是一个毫无规律的随机信号图，但实际上，灭绝率一样也遵循幂律分布。

诺伯简单地估算了不一样区间的灭绝率分布状况（例如不到 10% 的时期的数目、波动在 10% 到 20% 之间的数目），同时他做出了直方图，

直方图显示了在 400 万年期间某个给定范围的灭绝率的数目。大的灭绝事件出如今曲线的末端

这和曼得布罗特对棉花价格很是相似。灭绝率代替了价格波动，400 万年间隔代替了月份间隔。 

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笔者思考： 

尽管大的事件以必定的几率出现 , 但这并不意味着这个现象是周期性的。

如同诺伯认为的那样。长时期没有发生地震这个事实并不意味着将有地震发生。这种情形和用来赌博的轮盘转动同样。尽管平均来讲隔一次出现黑子，但这并不意味着红子与黑子交替出现。通过七次连续的红子以后，下一次黑子出现的几率仍然是1/2。

一样，地震在某个平均间隔内发生并不意味着它们是周期性的。例如，战争平均每三十年就会爆发一次这个事实并不能用来预报下一次战争。这种间隔的变化多是巨大的 

换句话说，对灾变的这种统计模式的描述，并不意味着咱们能够对将来的精确灾变进行精确预测。灾变模型本质上也是一种复杂性模型，它只能给出【为何会有灾变】以及【某种程度的灾变可能会出现，不一样程度的灾变出现的分布状况如何】这几个问题，而没法回答【将来的什么时间，什么程度的具体灾变是否会发生】这种问题。

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6. 灾变理论与同一性理论的冲突

灾变的发生是至关使人吃惊的。它们与【同一性理论】，或称【渐近性理论】，造成鲜明的对照。

渐进性理论于上个世纪在地球物理学家查尔斯·利尔的《地质原理》一书中初见端倪。

根据利尔的理论，全部的变化都是由咱们在此刻观察到的过程引发的，这些过程一直都以相同的速度进行着。例如，利尔认为地貌是由渐近的过程造成的，而不是由相似诺亚洪水的大灾难造成的，并且咱们今天看到的地表特征是由缓慢的持续的过程形成的，随着时间的流逝，做为“巨大的能动者”最终致使大的变化。 

利尔的同一性的观点从逻辑上来讲是完美的。物理定律老是表示为平滑连续的方程。因为这些定律应当描述全部事物，所以，咱们期待观察到的现象也应当以一种平滑的和渐近的方式变化。

  

7. 分形几何

在以前讨论灾变现象的时候，咱们提出的了一律念，“标度自由”，在灾变分布遵循的幂律分布中，标度自由是一个很是重要的性质。咱们这个章节来继续深刻讨论这个话题。

在分形几何中，标度自由是一个很是典型的特性。咱们这个章节就来详细讨论分形几何，但愿能让读者朋友更深入体会到“标度自由”的概念内涵。

0x1：挪威海岸线中的分形几何

 

挪威海岸。注意“分形的”阶梯似的几何特征，海岸带有峡湾，而且峡湾中又有峡湾，如此等等。曼德布罗特指出地貌一般是分形的

上图显示了挪威的海岸，它显现出峡湾的一个阶梯似的结构，峡湾里又有峡湾，而且峡湾的峡湾里又有峡湾。

“一个典型的峡湾有多长？”这个问题没有答案。

这种现象被称为“标度无关”。当你观察峡湾的一部分或海岸线的一部分的图像时，若是图上没有一把尺子你就不会知道海岸线有多长。并且长度的测量也依赖于用来测量的尺子的精确程度。

以英里为单位来测量海岸线长度的大尺子，比以米为单位来测量长度的精细的尺子，在测量同一长度时获得的值要小得多。 

这其实是用到了微积分的渐进拟合的思想，通俗的理解方式就是，咱们可使用大小为 δ 的盒子来铺满海岸。显然，盒子越小，铺满整个海岸线所要的盒子越多。

• 若是海岸线是一条直线，也就是维数为 1，那么盒子的数量就会反比于 δ，所以测量出的长度与δ无关。
• 然而 , 所需盒子的数量，会随着海岸线的弯曲部分而快速增长 , 于是直线有了一个斜率。

直线斜率的负数给出了海岸的“分形维数”。例如挪威海岸的 D = 1. 52，它代表海岸处于维数为 1 的直线和维数为 2 的平面之间的某种状况。 

 

8. 1/f 噪声 -- 时间信号中的分形

在来自类星体的光波中（类星体是宇宙中巨大的、遥远的星体）、高速公路交通中、以及全球温度波动中，普遍存在一种叫作 1/f 噪声的现象。

1887 到 1967 年的 80 年间从类星体上发出的光 (Press,1978)。其中包含慢的，以及中等范围的起伏的模式（从几分钟到几年）。这种类型的信号就是 1/f 噪声

1865 年以来的全球温度跟踪(NASA)

这种信号能够被看做是大大小小的波峰的叠加。它看起来像时间上的一种山脉的地貌，而不是空间上的。

这种信号也能够等价地看做全部频率的周期性信号的一种叠加。这也是代表在全部的时间标度上都有相同特征的另一种表达方式。

正如挪威拥有大小各异的峡湾同样，一个 1/f 信号也包含各类大小的波峰。它的分频强度或“功率”相对于小的频率来讲反而要大，它的强度与频率 f 成反比，这也是 1/f 的由来。

另外一个一个简单的例子就是行驶在一条交通拥挤的公路上的汽车的车速。各类走走停停的时间长短不一，而时间的长短对应的是交通拥挤的程度，拥挤程度越高，则通行速度越低。对一条公路来讲，整个路段的拥挤程度是各类拥挤程度的综合叠加。

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笔者插入：

1/f 噪声中，也一样遵循”标度自由“特性。

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须要注意的是，1/f 噪声虽然是各类频率信号的综合叠加，但它不是白噪声。白噪声在一个时刻的信号值和另外一时刻的信号值之间没有任何关联。

在下图所示的白噪声模式中，没有缓慢的起伏，也就是说没有大的波峰。

白噪声听起来更像收音机调台时发出的“ 嘶嘶”声而不是乐音，而且它包括了全部的频率，这些频率在数量上也是统计一致的。  

 

9. 兹波夫定律

0x1：城市人口分布中蕴含的标度自由性

在 1949 年出版的《人类行为和最小努力原则》这本书中，哈佛大学的乔治·金斯里·兹波夫教授，阐述了他经过人类起源系统对许多简单规律所作的大量振奋人心的发现。

下图显示出(大约在 1920 年)世界上有多少个城市的居民人数超过了一个给定的数字（800万、100万、20万等不一样区间）。

曲线在对数坐标上大体是一条直线。兹波夫为许多地理区域做了相似的图 , 发现了它们都有着相同的行为。 

0x2：文学做品中单词分布中蕴含的标度自由性

兹波夫也统计了单词在一篇文学做品中的出现频率分布，如詹姆斯·乔伊斯的《尤利西斯》，或在一批美国报纸上的使用频率。

• 使用频率占第 10 位的单词“( 等级”为 10 的单词)出现了 2653 次。
• 使用频率占第 20 位的单词出现 1311 次。
• 使用频率占第 20000 位的单 词只出现了一次

下图显示了英语中单词出现的频率与它们的等级之间的关系。

• 等级为 1 的单词 the，出现的频率为 9%
• 等级为 10 的 I 出现的频率为 1%
• 等级为 100 的 say 出现的频率为 0.1%，
• 等等

这些数据是来自报纸仍是《圣经》，仍是《尤利西斯》都可有可无，曲线是同样的。笔者曾经在DNS Tunnel异常检测中，引入过zipf统计做为特征工程的一部分。

在对数图上所做的关于等级与频率之间的、斜率近似为 1 的 直线所表达的规律就被称为【兹波夫定律】。

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笔者插入：

注意全部观察到的现象都具备统计特征。

• 古登堡—里特定律描述的是每种量级的地震的数目，而不是何时什么地点某个特定的地震会发生或确实已发生。
• 兹波夫定律处理的是一我的口范围给定的城市的数目，而不是为何某个特定的城市拥有 必定数量的居民。

不一样的定律经过可测量的分布函数得以表达。于是，一个用来解释那些现象的理论必须也是统计性的。

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10. 幂次定律与临界现象

某种东西在双对数坐标上是一条直线意味着什么？数学上来讲，那些直线被称为“幂次定律”，由于它们代表了某个量 N 能用 另一个量 s 的幂次表示出来：

在这里，

• s能够是地震中释放出来的能量，而 N(s) 就是放出那个能量的地震的数目
• s能够是峡湾的长度，而 N(s) 就是具备那种长度的峡湾的数目。

本质上，前面讨论的【古登堡 -- 里特定律】、【列维分布】、【兹波夫定律】、【分形几何】，其本质上都是幂次定律的一种特殊形式。

前3个可能比较好理解，可是分形几何和幂次定律有什么内在联系呢？

实际上，分形的特征就是幂次规律的分布赋予的。对上式两边都取对数咱们会发现：

这代表 logN(s) 和 logs 的关系在图上表现出来是一条直线，幂次 τ 是直线的斜率。

例如，在兹波夫定律中居民数超过 s 的城市的数目可表示为：

它是幂次为 -1 的一个幂次定律。

本文中讨论的现象基本上均可以用幂次定律表示出来。标度不变性能够从直线到处看起来都同样这个简单的事实中看出来。在某个标度上并无什么特征使这个标度显得很特别，没有卷曲也没有波峰。

于是，解释复杂系统中呈现的统计特性这个问题数学上就转化为解释潜在的幂次定律，而且要进一步转化为幂次的值这个问题。 

 

11. 相变系统中的复杂性

0x1：处于平衡态的系统不是复杂的

除了天然界中已经存在的种种复杂性现象以外（它们一直存在），大部分时候，物理世界都处于平衡态中，而平衡态不是复杂的。

由原子组成的气体，以及平坦海滩上的沙滩都是处于平衡态的大系统，它们是“处于平衡的”。

若是一个平衡系统受到微小的干扰，例如在某个位置上一粒沙被推了一下，并不会有什么发生。总的来讲，处于平衡态的系统不会展示前面谈到的任何有趣的行为，例如巨大的灾变、1/f 噪声、以及分形等。 

除此以外，咱们在生物学和经济学中发现的系统，像平坦的海滩上的沙同样，处于一种稳定的平衡。

目前领导潮流的经济理论，普适的平衡理论，认为良好的市场、良好的理性等等因素，把经济系统带入一种稳定的纳什平衡。

在这种状态下，没有任何人能经过任何行动改善他自身的处境。在平衡态中，微小的扰动或震动只会致使微小的变更。

系统的反应和做用强度的大小成正比，对平衡系统来讲这种比例关系是“线性的”，偶然性是可有可无的，小的突发性事件永远不可能带来戏剧性的结果。平衡系统中大的波动只有在全部随机事件都偶然地往同一方向发展时才可能发生，而这种可能性几乎是没有的。

平衡系统的这种性质，其实对达尔文的进化论提出了很是尖锐的挑战。

天然界被认为从原则上来讲是守恒的，这种观点激励了环保学家。绝不奇怪，在人的寿命时限内天然环境几乎没有什么改变，于是平衡这个概念会显得很是天然或者很直觉。然而，若是天然界处于平衡，那么咱们最初是如何来到这个世上的？

若是天然界始终处于平衡，那么它是如何演化的？除非发生了什么重大的事情，致使天然系统进入相变状态，由于只有相变状态才具备复杂性。

正如古尔德和爱德乔指出的那样，生物界中显而易见的平衡只不过是处于行为间歇爆发和旧物种灭亡新物种开始出现这二者之间的一段宁静或郁滞的时期。个别物种演化的进程，每每是经过零星的爆 发而进行。这种现象被称为【断续平衡】。

断续平衡的概念是复杂系统动力学的核心。巨大的间歇性的爆发在平衡系统中无立锥之地，但在历史学、生物学和经济学中它们无所不在。

0x2：相变系统中存在复杂性

天然界中每时每刻都在产生出不少新的复杂性系统和复杂现象。其中，孕育复杂性现象的一个最典型的前提条件就是【相变系统】。

咱们在以前的文章里曾经简单讨论过相变。相变时，系统从无序状态变化到有序状态。

例如当温度变化时，就在把两相分开的临界点（例如沸点）存在着由标度自由行为表征的复杂行为，这些行为处于各类大小的有序的范围中。为了达到临界点，温度必须调得很是精确，以便产生复杂行为。

0x3：混沌不具备复杂性

须要明白的是，复杂性并不意味着毫无规律的混乱，隐藏在复杂性看似混乱的表面之下的内核，是遵循标度自由特性的幂律分布。

可是，混沌系统倒是一个彻底无规律的噪声系统，尽管混沌系统也能够找到一些明确的动力学方程，可是由于内部多个动力方程之间造成的多体组合，致使混沌系统总体表现出了彻底的无序性。

在 19 世纪 80 年代，科学家对简单动力学系统的理解发生了一场革命。一段时间以来人们意识到有多个自由度的系统可以展示混沌的行为。不管咱们对它们的初始状态知道得多清楚，甚至咱们对控制它们运动的方程有足够的了解（例如马尔萨斯人口模型），咱们都没法预料它们未来的行为。

混沌信号具备白噪声谱, 而不是 1/f 谱。于是能够说混沌系统只不过是一部成熟的随机噪声产生器。混沌系统没有关于过去的记忆，于是没法演化。

整体上说，混沌系统是不具备复杂性的，可是有一个例外，就是在临界点的位置上，也就是混沌相变发生的地方。

在混沌相变发生的地方，存在相似 1/f 信号的复杂行为。复杂态位于可预测的周期行为和不可预测的混沌的分界面上。

综上，混沌系统的复杂性只存在于某个很是特殊的点上，而在那些真正致使混沌的λ值的点上并不存在。混沌系统的复杂性并非稳固的。

所以，简单的混沌系统不可以产生像挪威海岸那样的一个空间分形结构。

 

12. 自组织临界性 -- 关于产生复杂性缘由的理论

文章前面讨论到的4种现象，

• 灾变事件的分布规则性
• 分形
• 1/f 噪声
• 兹波夫定律

它们都有一个共同点，那就是在双对数坐标上它们都表现为一条直线，即符合幂律分布。

这就使得咱们考虑它们是否只是同一个原则的不一样表示而已。这些复杂的行为可以有一个相似牛顿定律（F=ma）这样的定律吗？也许【自组织临界性】就是那个潜在的原理。 

所谓自组织，是指自组织临界系统演化到复杂的临界态时没有受到任何外界做用的干预。

另外一方面，临界性并非忽然就进入的。自组织过程发生时经历了一个很是长的暂态时期。

不管是地球物理，仍是生物演化过程 , 老是由一个漫长的演化过程产生的。它不能经过在一个短周期时间内的研究系统而得以理解。

• 地震的规律不可以仅仅经过研究在人的寿命时限内发生的地震得以理解，而必须考虑亿万年以来发生的地球物理过程，而且要把咱们如今所观察到的考虑在内。
• 生物进化不能经过在实验室里研究几代老鼠和细菌的进化得以理解。
• 一个沙堆展现了断续平衡行为，其中郁滞期因为不断有沙滑下而被打断。沙的下滑或雪崩是由多米诺效应形成的，其中单个的沙粒推进一个或更多其余的沙粒从而致使它们下滑。那些倒下的沙粒又轮流地以链式反应的方式和其余沙粒相做用。大的雪崩，不是逐渐的改变，它把质的行为和量的行为连在一块儿了，从而造成了突发现象的基础。

若是自组织临界性真的就是世界复杂性产生的底层缘由，而复杂性又是广泛存在的。那么咱们必须接受生物学、历史学和经济学的观点 : 不稳定性和大的灾难是不可避免的。

因为过去那些特定的不重要事件的结果是偶然的，于是咱们也必须放弃详尽的长期决定主义或可预测性的观点。巨大的灾难性的事件和天天都发生的微小事件都听从一样的动力学。这种发现和咱们一般思考大事件的方式背道而驰。

咱们一般的思考方式，老是寻找特定的缘由（例如一颗下落的陨石致使恐龙的灭绝）来解释巨大的灾难事件。但自组织临界性告诉咱们，每个小事都是大事，每个大事都很普通。自组织临界性能够看做是灾难主义的理论判据。

 

13. 笔者脑洞 

• 统计一下重大网络安全漏洞的出现分布，分析是否符合幂律分布。传统意义上，咱们认为网络安全漏洞的产生是因为开发者缺少成熟的IT框架、缺少对应的安全编码知识、以及对应白帽子的主动漏洞挖掘行为所共同致使的，可是从宏观上，也许存在有规律的分布特征