动态规划

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• 动态规划(Dynamic Programming)：

• 1)将待求解的问题分解为若干个子问题(即:将求解的过程分为若干阶段)，按顺序求解子问题，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息；

• 2)在求解任一子问题时，列出可能的局部解，经过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其它的局部解；

• 3)依次解决各子问题，最后一个子问题的解就是初始问题的解。

• 问题：求一个整型数组中最大连续子序列的和，数组中既包含正整数也包含负整数。
• 举例：数组int[] array = {1, -3, 7, 8, -4, 10, -19, 11};中最大连续子序列为：7, 8, -4, 10 它们的和为21

*/

public class DP {

/**
 * 暴力求解
 *
 * 时间复杂度：O(N^2)
 */
public static int maxSubSumByEnum(int[] array) {
    int maxSum = 0;
    int begin = 0;
    int end = 0;

    /**
     * 1)第i次循环结束后能够找到：以第i个元素为起点的连续子序列的最大值。
     * 2)i表示序列的起点，j表示序列的终点。
     * 3)每一次循环中将终点不断向后移动：每次向后移动一位而且计算当前序列的和，循环结束后，咱们就能够获得本次循环中子序列和最大的值。
     */
    for (int i = 0; i < array.length; i++) { //

        int tempSum = 0;

        for (int j = i; j < array.length; j++) {
            tempSum += array[j];

            if (tempSum > maxSum) {
                maxSum = tempSum;
                begin = i;
                end = j;
            }
        }
    }
    System.out.println("begin:" + begin + " end:" + end);
    return maxSum;
}

/**
 * 动态规划
 *
 * 时间复杂度：O(N)
 *
 * 要点：
 *      1)若当前阶段中连续子序列的和小于0，则进入下一阶段，同时肯定下一阶段的起点并将下一阶段的和初始化为0。
 *      2)只有当前阶段的总和大于历史最大总和时，才会去更新数组中最大连续子序列的起点和终点。
 */
public static int maxSubSumByDP(int[] array) {

    int maxSum = 0;     // 数组中，最大连续子序列的和
    int begin = 0;      // 数组中，最大连续子序列的起点
    int end = 0;        // 数组中，最大连续子序列的终点
    int tempSum = 0;    // 当前阶段中，连续子序列的和
    int tempBegin = 0;  // 当前阶段中，连续子序列的起点

    for (int i = 0; i < array.length; i++) {

        tempSum += array[i];

        if (tempSum < 0) {             // 若当前阶段中连续子序列的和小于0，则进入下一阶段

            tempSum = 0;        // 下一阶段的和进行归零处理
            tempBegin = i + 1;  // 下一阶段的起点

        } else if (tempSum > maxSum) { // 若当前阶段的总和大于历史最大总和，则更新数组中最大连续子序列的起点和终点。
            maxSum = tempSum;
            begin = tempBegin;
            end = i;
        }
    }
    System.out.println("begin:" + begin + " end:" + end);
    return maxSum;
}

public static void main(String[] args) {
    int[] array = {1, -3, 7, 8, -4, 10, -19, 11};
    int dpMax = maxSubSumByDP(array);
    System.out.println(dpMax);
    int enumMax = maxSubSumByEnum(array);
    System.out.println(enumMax);
}

}