等额本金和等额本息还款

不管哪一种还款方式：

月还款额 = 当月应还本金 + 当月应还利息

当月应还利息 = 上月剩余本金 × 月利率

当月剩余本金 = 上月剩余本金 - 当月还款本金

等额本金还款方式

每次还款的本金相同

当月利息 = 上月剩余本金 × 月利率

记:

借款总额=a

月利率=r

借款期数=t

则

月还本金mp = a/t

第i次还款的计息本金 = a - (i - 1)a/t = a(t - i + 1)/t，i取值为1...n

月还利息mi = ar(t - i + 1)/t

总利息 = m1 + ... + mn = ar(t + ... + 1) = ar(t + 1)/2

等额本息还款方式

每一个月的还款额固定，但还款的利息比重逐渐减少，本金的还款额逐月增长

记

借款总额=a

月利率=r

借款期数=t

每个月应还本息为=m

则

第1期应还的利息x₁ = ar

第1期应还本金p₁ = m - ar

第1期剩余本金q₁ = a - p₁ = a - (m-ar) = a(1 + r) - m

第2期应还的利息x₂ = q₁r

第2期应还本金p₂ = m - x₂ = m - q₁r

第2期剩余本金q₂ = q₁ - p₂ = q₁ - (m - q₁r) = q₁(1+r) - m = [a(1 + r) - m](1+r) - m = a(1 + r)² - [1 + (1 + r)]m

第3期应还的利息x₃ = q₂r

第3期应还本金p₃ = m - x₃ = m - q₂r

第3期剩余本金q₃ = q₂ - p₃ = q₂ - (m - q₂r) = q₂(1+r) - m = {a(1 + r)² - [1 + (r + 1)]m}(1+r) - m = a(1 + r)³ - [1 + (1 + r) + (1 + r)²]m

猜测

q_n = a(1 + r)ⁿ -[1 + (1 + r) + (1 + r)² + ... + (1 + r)^n-1]

证实:

第n期应还的利息x_n = q_n-1r

第n期应还本金p_n = m - x_n = m - q_n-1r

第n期剩余本金q_n = q_n-1 - p_n = q_n-1 - (m - q_n-1r) = q_n-1(1+r) - m

即

q_n = q_n-1(1 + r) - m    ①

q_n-1 = q_n-2(1 + r) - m   ②

q_n-2 = q_n-3(1 + r) - m   ③

...

q₃ = q₂(1 + r) - m      ④

q₂ = q₁(1 + r) - m      ⑤

q₁ = a(1 +r ) - m       ⑥

②两边同乘以 (1 + r)，③两边同乘以(1 + r)²， .... ⑥两边同乘以(1 + r)^n-1，得

q_n = q_n-1(1 + r) - m                    

(1 + r)q_n-1 = q_n-2(1 + r)² - m(1 + r)         

(1 + r)²q_n-2 = q_n-3(1 + r)³ - m(1 + r)²        

...

(1 + r)^n-3q₃ = q₂(1 + r)^n-2 - m(1 + r)^n-3

(1 + r)^n-2q₂ = q₁(1 + r)^n-1 - m(1 + r)^n-2

(1 + r)^n-1q₁ = a(1 +r )ⁿ - m(1 + r)^n-1

两边相加，得

q_n = a(1+r)ⁿ - m[1 + (1+r) + (1 + r)² + .. + (1 + r)^n-1] 

  = a(1+r)ⁿ -m(1 - (1+r)ⁿ)/(1 - (1+r))

因为qn = 0, 则每个月还款本息

m = ar(1 + r)ⁿ/[(1 + r)ⁿ - 1]