算法的时间复杂度与空间复杂度

时间  2020-04-15
标签 算法 时间 复杂度 空间 繁體版
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前面咱们说了算法的重要性数据结构与算法开篇，今天咱们就开始学习如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗呢？请看本文一一道来。算法

算法的时间复杂度与空间复杂度

数据结构和算法本生解决的就是「快」和「省」的问题，那就是如何让代码跑得快，还能节省存储空间。打造一台法拉利，不只跑得快还省油，拥有好的算法与数据结构，程序跑得快，还省内存而且长时间运行也不会出故障，就像跑车长时间运行车子也不会出现异常「车震」，同时还快。因此赶忙上车，一块儿学习数据结构与算法，赶忙上车「稳稳」的学会如何检测跑车到底快不快，省油不省油。数组

这里就要用到咱们今天要讲的内容：时间、空间复杂度分析。只要讲到数据结构与算法，就必定离不开时间、空间复杂度分析。复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。这就就像内功心法，上乘武功还需搭配牛逼心法。数据结构

只有学会了检测标准才能在设计的时候心中按照标准来编写打造咱们的「法拉利」代码。数据结构和算法

为什么须要复杂度分析

可能会有些疑惑，我把代码跑一遍，经过统计、监控，就能获得算法执行的时间和占用的内存大小。为何还要作时间、空间复杂度分析呢？这种分析方法能比我实实在在跑一遍获得的数据更准确吗？ide

这种属于非要本身去尝试，没有根据合理方法预测咱们要的就是像算命大师同样预先知道。不少数据结构和算法书籍还给这种方法起了一个名字，叫过后统计法。可是，这种统计方法有很是大的局限性。函数

1. 测试结果很是依赖测试环境性能

测试环境中硬件的不一样会对测试结果有很大的影响。好比，咱们拿一样一段代码，分别用 Intel Core i7 处理器和 Intel Core i3 处理器来运行，不用说，i7 处理器要比 i3 处理器执行的速度快不少。学习

就好像同一辆车放在深圳北环大道与我家农村小山沟跑是不同的。测试

2.测试结果受数据规模的影响很大

后面咱们会讲排序算法，咱们先拿它举个例子。对同一个排序算法，待排序数据的有序度不同，排序的执行时间就会有很大的差异。

极端状况下，若是数据已是有序的，那排序算法不须要作任何操做，执行时间就会很是短。除此以外，若是测试数据规模过小，测试结果可能没法真实地反应算法的性能。

好比，对于小规模的数据排序，插入排序可能反倒会比快速排序要快！

因此，咱们须要一个不用具体的测试数据来测试，就能够粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是咱们今天要讲的时间、空间复杂度分析方法。

大 O 复杂度表示法

算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。可是，如何在不运行代码的状况下，用“肉眼”获得一段代码的执行时间呢？就像检测车子马力与油耗似的。

求 1,2,3…n 的累加和。如今，一块儿估算一下这段代码的执行时间。

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着相似的操做：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不同，可是，咱们这里只是粗略估计，因此能够假设每行代码执行的时间都同样，为 unit_time单位时间。

在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？

第 二、3 行代码分别须要 1 个 unit_time 的执行时间，第 四、5 行都运行了 n 遍，因此须要 2n*unit_time 的执行时间，因此这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time。能够看出来，全部代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

咱们继续分析下面这段代码

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }

咱们依旧假设每一个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢？

第 二、三、4 行代码，每行都须要 1 个 unit_time 的执行时间，第 五、6 行代码循环执行了 n 遍，须要 2n * unit_time 的执行时间，第 七、8 行代码循环执行了 n^2^遍，因此须要 2n^2^ unit_time 的执行时间。因此，整段代码总的执行时间 T(n) = (2n^2^+ 2n + 3)unit_time。

尽管咱们不知道 unit_time 的具体值，可是经过这两段代码执行时间的推导过程，咱们能够获得一个很是重要的规律，那就是，==全部代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比==。

咱们能够把这个规律总结成一个公式。注意，大 O 就要登场了！

$T(n) = O(f(n))$

其中，$$T(n)$$ 咱们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；$$f(n)$$ 表示每行代码执行的次数总和。由于这是一个公式，因此用$f(n)$ 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

因此，第一个例子中的 $T(n) = O(2n+2)$，第二个例子中的 T(n) = O(2n^2^+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增加的变化趋势，因此，也叫做渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。敲黑板了，表达的是变化趋势，并非真正的执行时间。

当 n 很大时，你能够把它想象成 100000、1000000。而公式中的==低阶、常量、系数==三部分并不左右增加趋势，因此均可以忽略。咱们只须要记录一个最大量级就能够了，若是用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就能够记为：$$T(n) = O(n)$$； $$T(n) = O(n^2)$$。

时间复杂度分析

前面介绍了大 O 时间复杂度的由来和表示方法。如今咱们来看下，如何分析一段代码的时间复杂度？有三个比较实用的方法能够分享。

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。咱们一般会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只须要记录一个最大阶的量级就能够了。因此，咱们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就能够了。擒贼先擒王就是这么回事。

这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

其中第 二、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，因此对于复杂度并无影响。

循环执行次数最多的是第 四、5 行代码，因此这块代码要重点分析。前面咱们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，因此总的时间复杂度就是 O(n)。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

看以下代码能够先试着分析一下，而后再往下看跟个人分析思路是否同样。

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }

   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }

   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

这个代码分为三部分，分别是求 sum_一、sum_二、sum_3。咱们能够分别分析每一部分的时间复杂度，而后把它们放到一起，再取一个量级最大的做为整段代码的复杂度。

  • 第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了 100 次，因此是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。
  • 这里我要再强调一下，即使这段代码循环 10000 次、100000 次，只要是一个已知的数，跟 n 无关，照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候，就能够忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，可是回到时间复杂度的概念来讲，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增加的变化趋势，因此无论常量的执行时间多大，咱们均可以忽略掉。由于它自己对增加趋势并无影响。
  • 那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n^2^)，你应该能容易就分析出来，我就不啰嗦了。

综合这三段代码的时间复杂度，咱们取其中最大的量级。因此，整段代码的时间复杂度就为 O(n^2^)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那咱们将这个规律抽象成公式就是：

若是 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

刚刚说了一个加法原则，这里说的乘法原则，以此类推，你也应该能「猜到」公式。这个是效率最差的

若是 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)T2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

也就是说，假设 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，则 $$T1(n) * T2(n) = O(n^3)$$。落实到具体的代码上，咱们能够把乘法法则当作是嵌套循环

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for(x=1; i <= n; x++){
       for(i = 1; i <= n; i++) {
           j = i;
           j++;
        }
    }
 }

咱们单独看 cal() 函数。假设 5-8行的 只是一个普通的操做，那第 4 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 5-8 函数自己不是一个简单的操做，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，因此，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，$$T(n) = T1(n) T2(n) = O(nn) = O(n^2)$$。

几种常见时间复杂度实例

虽然代码千差万别，可是常见的复杂度量级并很少。老弟稍微总结了一下，这些复杂度量级几乎涵盖了从此能够接触的全部代码的复杂度量级。

划重点了同窗们。

  1. 常量阶 $O(1)$
  2. 对数阶 $O(logn)$
  3. 线性阶 $O(n)$
  4. 线性对数阶 $O(nlogn)$
  5. 平方阶 O(n^2^)、立方阶 O(n^3^)…..k 次方阶 O(n^k^)
  6. 指数阶 O(2^n^)
  7. 阶乘阶 O(n!)

对于刚罗列的复杂度量级，咱们能够粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：$$O(2^n) $$和 O(n!)。

当数据规模 n 愈来愈大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增长，求解问题的执行时间会无限增加。因此，非多项式时间复杂度的算法实际上是很是低效的算法。所以，关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。

咱们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。

1. O(1) 之一击必杀

首先咱们必须明确一个概念，O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并非指只执行了一行代码。好比这段代码，即使有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。

int a = 1;
int b = 2;
int c = 3;

咱们的 HashMap get()、put() 其实就是 O(1) 时间复杂度。

只要代码的执行时间不随 n 的增大而增加，这样代码的时间复杂度咱们都记做 O(1)。或者说，通常状况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即便有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度很是常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

根据咱们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。因此，咱们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。

从代码中能够看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得咱们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。若是我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

$$2^0 2^1 2^2 ……..2^x = n$$

因此，咱们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。经过 2^x^=n 求解 x 这个问题咱们想高中应该就学过了，我就很少说了。x=log~2~n，因此，这段代码的时间复杂度就是 O(log~2~n)。

我把代码稍微改下，这段代码的时间复杂度是多少？

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为 O(log~3~n)。

实际上，无论是以 2 为底、以 3 为底，仍是以 10 为底，咱们能够把全部对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为何呢？

咱们知道，对数之间是能够互相转换的，log3n 就等于 log~3~2 log~2~n，因此 O(log~3~n) = O(C log~2~n)，其中 C=log~3~2 是一个常量。基于咱们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，能够忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。因此，O(log~2~n) 就等于 O(log~3~n)。所以，在对数阶时间复杂度的表示方法里，咱们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

若是你理解了我前面讲的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得咱们刚讲的乘法法则吗？若是一段代码的时间复杂度是 O(logn)，咱们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。并且，O(nlogn) 也是一种很是常见的算法时间复杂度。好比，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

以下所示就是$O(nlogN)$ , 内部 while循环是 O(logn) ,被外层 for 循环包起来。因此 就是 O(nlogn)

for(m = 1; m < n; m++) {
    i = 1;
    while(i < n) {
        i = i * 2;
    }
}

3. O(m+n)、O(m*n)

咱们再来说一种跟前面都不同的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

从代码中能够看出，m 和 n 是表示两个数据规模。咱们没法事先评估 m 和 n 谁的量级大，因此咱们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。因此，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种状况，原来的加法法则就不正确了，咱们须要将加法规则改成：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。可是乘法法则继续有效：T1(m)T2(n) = O(f(m) f(n))。

4.线性阶O(n)

看这段代码会执行多少次呢？

for(i=1; i<=n; i++) {
   j = i;
   j++;
}

第1行会执行 n 次，第2行和第3行会分别执行n次，总的执行时间也就是 3n + 1 次，那它的时间复杂度表示是 O(3n + 1) 吗？ No !

仍是那句话：“大O符号表示法并非用于来真实表明算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增加变化趋势的”。

因此它的时间复杂度实际上是O(n);

平方阶O(n²)

for(x=1; i <= n; x++){
   for(i = 1; i <= n; i++) {
       j = i;
       j++;
    }
}

把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²) 了。

立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k^)

参考上面的O(n²) 去理解就行了，O(n³)至关于三层n循环，其它的相似。

空复杂度分析

理解了前面讲的内容，空间复杂度分析方法学起来就很是简单了。

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增加关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增加关系。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }
}

跟时间复杂度分析同样，咱们能够看到，第 2 行代码中，咱们申请了一个空间存储变量 i，可是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，因此咱们能够忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此以外，剩下的代码都没有占用更多的空间，因此整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

打个不恰当的比喻，就像咱们的手机如今工艺愈来愈好，手机也愈来愈薄。占用体积愈来愈小。也就是用更好的模具设计放置零件，而模具就像是空间复杂度更小的体积容纳更多的原件。

咱们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。并且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单不少。因此，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了。

空间复杂度 O(1)

若是算法执行所须要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)。

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

代码中的 i、j、m 所分配的空间都不随着处理数据量变化，所以它的空间复杂度 S(n) = O(1)。

空间复杂度 O(n)

int[] m = new int[n]
for(i=1; i <= n; ++i) {
   j = i;
   j++;
}

这段代码中，第一行new了一个数组出来，这个数据占用的大小为n，后面虽然有循环，但没有再分配新的空间，所以，这段代码的空间复杂度主要看第一行便可，即 S(n) = O(n)。

总结

基础复杂度分析的知识到此就讲完了，咱们来总结一下。

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增加关系，能够粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。

常见的复杂度并很少，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2^ )。等学完整个专栏以后，就会发现几乎全部的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个。

算法的时间复杂度与空间复杂度

有人说，咱们项目以前都会进行性能测试，再作代码的时间复杂度、空间复杂度分析，是否是画蛇添足呢？并且，每段代码都分析一下时间复杂度、空间复杂度，是否是很浪费时间呢？你怎么看待这个问题呢？

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算法的时间复杂度与空间复杂度

参考文献

  1. 《数据结构与算法之美》
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