【BZOJ3326】数数（SCOI2013）-数位DP

测试地址：数数
题目大意： 给定 $L,R$两个 $10^5$位内的 $B(\le 10^5)$进制数， $L\le R$，对区间 $[L,R]$内的全部数 $x$，累加 $x$中全部子串表示的数字的和（如 $123$，应该累加 $123+12+23+1+2+3$到答案中，注意不该该包含前导零），求最终答案（用 $10$进制表示）。
作法： 本题须要用到数位DP。
神题。虽然一眼能看出数位DP，但具体的转移式子仍是想错了好多回，此次终于写对了。
首先咱们来看，对于一个 $len$位的数 $x$，在它末尾加一位数 $s$，会对这个数的全部子串表示的数字和有什么影响（如下简写成 $sum(x)$）。令 $suf(x)$表示数 $x$全部后缀表示的数字和，那么有：
$suf(x_{new})=suf(x_{last})\cdot B+s\cdot (len+1)$
$sum(x_{new})=sum(x_{last})+suf(x_{new})$
根据这个为基础，咱们就能思考数位DP的转移了。
根据套路，首先把问题转化为：用小于等于 $R$的全部数的贡献，减去小于等于 $L-1$的全部数的贡献，因而如今咱们考虑求小于等于某个数 $T$时的贡献。
从高位向低位枚举，令 $Sum(i,0/1)$表示前 $i$位中，不卡/卡上界的全部数的 $sum(x)$的和， $Suf(i,0/1)$表示前 $i$位中，不卡/卡上界的全部数的 $suf(x)$的和。先分析具体的转移过程：
前 $i-1$位的数不卡上界时，第 $i$位能够填 $0$ ~ $B-1$内全部的数，而且新的数都不卡上界；
前 $i-1$位的数卡上界时，第 $i$位能够填 $0$ ~ $T[i]$。当填 $0$ ~ $T[i]-1$时，新的数不卡上界，当填 $T[i]$时新的数卡上界。
因而咱们先考虑 $Suf$的转移。首先，卡上界的状况应该很好转移了，实际上就是求上界的 $suf$值。主要是不卡上界的状况比较复杂。
首先考虑不卡上界转移到不卡上界的状况。根据上面的转移式子 $suf(x_{new})=suf(x_{last})\cdot B+s\cdot (len+1)$，咱们这样考虑：首先枚举 $s$从 $0$到 $B-1$，对于每个 $s$，再枚举可转移的 $x_{last}$，把贡献累加起来。因而一个 $s$对整个 $Suf$的贡献是： $B\cdot \sum suf(x_{last})+s\cdot \sum (len(x_{last})+1)$，那么对于全部 $s$，对 $Suf$的贡献就是： $B\cdot B\cdot \sum suf(x_{last})+\frac{B(B-1)}{2}\cdot \sum (len(x_{last})+1)$。其中 $\sum suf(x_{last})$就是 $Suf(i-1,0)$，而 $\sum (len(x_{last})+1)$须要斟酌一下。这个和式是在求，对于全部可转移的 $x_{last}$（包括 $0$），累加它们的位数 $+1$（把 $0$的位数看作 $0$）。观察规律，咱们发现： $1$有 $1$个， $2$有 $B-1$个， $3$有 $(B-1)\cdot B$个， $4$有 $(B-1)\cdot B^2$个… $i-1$有 $(B-1)\cdot B^{i-3}$个， $i$有 $num-B^{i-2}$个， $num$表示 $T$的前 $i-1$位组成的前缀。那么前面的有规律的部分能够递推维护，而 $num$显然也能够递推维护，因此咱们就能够每次 $O(1)$地进行这个转移了。
接下来考虑卡上界转移到不卡上界的状况。这种状况下，能转移到不卡上界的状况， $s$必须是 $0$ ~ $T[i]-1$，并且由于这种状况中可转移的 $x_{last}$只有一个，并且 $len(x_{last})$就是 $i-1$，所以就比上面的状况简单不少了，总贡献应该为 $Suf(i-1,1)\cdot B+\frac{T[i](T[i]-1)}{2}\cdot i$。
那么 $Suf$的转移讨论完了，接下来讨论 $Sum$的转移。 $Sum(i,1)$就是求上界的 $sum$，而 $Sum(i,0)$也利用上面的思考方式，先考虑从不卡上界转移的状况，由于有 $B$种转移，因此 $Sum(i-1,0)$就产生了 $B$次的贡献。再考虑从卡上界转移的状况，由于有 $T[i]$种转移，因此 $Sum(i-1,1)$就产生了 $T[i]$次的贡献。再加上全部不卡上界数的后缀产生的贡献，即 $Suf(i,0)$，就能够计算出 $Sum(i,0)$了。
至此，通过漫长的讨论，咱们获得了一个 $O(n)$的数位DP，完美地解决了这一道题。
如下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=20130427;
int n;
ll s[100010],B,sum[100010][2],suf[100010][2];
ll pw[100010],num[100010],sumnum[100010]={0};

ll solve()
{
	sum[0][0]=sum[0][1]=suf[0][0]=suf[0][1]=num[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if (i>2) sumnum[i]=(sumnum[i-1]+(ll)(i-1)*(B-1ll)%mod*pw[i-3]%mod)%mod;
		num[i]=(num[i-1]*B%mod+s[i])%mod;
		ll tmp=0;
		if (i>1) tmp=(sumnum[i]+1ll+(num[i-1]-pw[i-2]+mod)%mod*(ll)i%mod)%mod;
		suf[i][1]=(suf[i-1][1]*B%mod+s[i]*(ll)i%mod)%mod;
		suf[i][0]=(suf[i-1][0]*B%mod*B%mod+B*(B-1ll)/2ll%mod*tmp%mod)%mod;
		suf[i][0]=(suf[i][0]+suf[i-1][1]*B%mod*s[i]%mod+s[i]*(s[i]-1ll)/2ll%mod*(ll)i%mod)%mod;
		sum[i][1]=(sum[i-1][1]+suf[i][1])%mod;
		sum[i][0]=(sum[i-1][0]*B%mod+suf[i][0])%mod;
		sum[i][0]=(sum[i][0]+sum[i-1][1]*s[i]%mod)%mod;
	}
	return (sum[n][0]+sum[n][1])%mod;
}

int main()
{
	ll ans;
	
	scanf("%lld",&B);
	scanf("%d",&n);
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&s[i]);
		pw[i]=pw[i-1]*B%mod;
	}
	ans=(mod-solve()+sum[n][1])%mod;
	
	scanf("%d",&n);
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&s[i]);
		pw[i]=pw[i-1]*B%mod;
	}
	ans=(ans+solve())%mod;
	
	printf("%lld",ans);
	
	return 0;
}