Lisp-Stat 翻译 —— 第二章 Lisp-Stat教程

第二章 一份Lisp-Stat教程

    本章打算将使用Lisp-Stat做为统计计算器和绘图器作一个介绍。在介绍完基本的数值和绘图操做以后，介绍如何构建随机的和系统的数据集合，如何修改数据集，如何使用一些内建的动态绘图工具，如何构建线性回归模型。最后两节给出了简略的介绍，关于如何写你本身的函数和使用功能数据进行高级建模的工具。

2.1 Lisp解释器

    你与Lisp-Stat系统的交互是由你和lisp解释器之间的对话组成的。想象一下，你坐在计算机前打开了你的系统，或者更好点儿，你获取了某个版本的Lisp-Stat，而且启动了它。当准备好要开始对话时，Lisp-Stat在一个空白行的前边给出了一个提示符，就像这样：

>

若是你键入一个表达式，解释器就会打印这个表达式的计算结果来响应你。例如，若是你给解释器一个数字，而后按回车键，那么解释器就会响应你——简单地 打印 这个数字，而后 在下一行 退出并给你一个新的提示符。

 

> 1
1
>

对数字的操做能够经过组合数字和一个符号并把它们复合成一个表达式来执行，就像这样(+ 1 2)：

 

> (+ 1 2)
3
>

就像你猜测的同样，这个表达式就是将数字1和2加在一块儿。这种操做符放在操做数前边的表示方法叫前置表示法。这种表示方法起初可能让你很迷惑，由于它背离了标准的数学实践，可是却会带来一些颇有意义的优点。一个优点是能够容纳进行任意数量的参数操做。例如，

 

> (+ 1 2 3)
6
> (* 2 3.7 8.2)
60.68
>

    为了理解解释器是如何工做的，要记住的一条基本的原则是全部的东西都是能够被求值的。数字求值获得它自己。

 

> 416
416
> 3.14
3.14
> -1
-1
>

还有一些其它的基本数据形式求值后也会获得它自己。它们包括逻辑值

 

> t
T
> nil
NIL
>

还有字符串，它们将用双引号括起来。

 

> "This is a string 1 2 3 4"
"This is a string 1 2 3 4"
>

分号";"是Lisp注释符，任何在分号后键入的字符，直到你下次键入回车，其间的全部内容都会被解释器忽略。

    若是解释器接收到一个符号(symbol，Lisp术语)，像"pi"或者"this-is-a-symbol"，来计算的话，它将首先检查是否有一个值与该符号关联，若是有值关联就返回那个值：

 

> pi
3.141593
>

若是没有值与该符号关联，解释器将发出一个错误信号：

 

> x
error: unbound variable - X
>

符号pi是系统预约义的，做为数字π的一个近似值。从这点来看，符号x是没有值的。下一节咱们将看到如何给一个符号赋值。

    当你敲写符号名称时，能够用大写形式也能够用小写形式。Lisp内部会将小写字母转换为大写形式。

    组合表达式的求值有一点点复杂。一个组合表达式是由一些放在小括号内部对的，用空格分开的元素的列表组成的。列表的元素能够是字符串、数字或者其它的组合表达式。在对形如(+ 1 2 3)这样的表达式求值时，解释器把这个列表当成一个函数表达式。列表的第一个元素表明一个Lisp函数——能够接受一些参数而且返回一个结果的代码段。本例中的函数式加法函数，由符号"+"表示，列表的其他元素是它的参数，这里是一、2和3。当要求对表达式求值时，解释器调用加法函数，把它应用到参数上，而后返回结果：

 

> (+ 1 2 3)
6

    函数的参数在函数使用以前已经被求值。在前边的例子里，参数都是数字，所以求值结果为自身。可是在下边这个例子里：

 

> (+ (* 2 3) 4)
10

在加法函数使用以前，解释器不得不先对第一个参数(* 2 3)求值，再传递给加法函数。

    数字、字符串和符号是一些在Lisp里能够直接使用的基本数据类型。我将会指出这些基本数据类型共同当作简单数据。还有，Lisp提供了一些方法来造成更复杂的数据结构，那些叫复合数据。最基本的复合数据就是列表——list。列表可使用"list"函数来构造：

 

> (list 1 2 3 4)
(1 2 3 4)

解释器打印的这条结果很像咱们已经用过的那个复合表达式：一个放在小括号里的，由空格分开的元素序列。事实上，Lisp表达式就是简单的列表。

    一些其它复合数据形式也是可用的，包括矢量（vector）和多维数组。这些在4.4节再讨论。

    在开始第一个统计应用程序以前，让咱们再看一个解释器的特性。假设咱们想要解释器打印一个列表(+ 1 2)给咱们，直接把这个列表键入解释器是不行的，由于解释器会坚持对该列表求值：

 

> (+ 1 2)
3

解决办法就是告诉解释器不要对列表求值。这个处理过程叫作引用（quoting）。就像这样，在一个手写的句子里，将一个表达式周围加上引号，而后说：把这个表达式当成字面意思理解。例如，使用引号标记下表这两个句子：Say your name！ 和 Say "your name"!这两句话的意思是不一样的。下表的表达方式告诉你如何在Lisp里引用表达式：

 

> (quote (+ 1 2))
(+ 1 2)

    "quote"不是一个函数，它不遵照上边描述的函数求值规则：它的参数不会被求值。"quote"能够被称为一个special form——特殊是由于在处理参数上它有特殊的规则。须要的时候我还会介绍其余的special forms。这些基本求值规则与这些special forms（特殊形式）一块儿组成了Lisp语言的语法。

    "quote"使用频率如此之高以致于专门开发了一个速记符，就是标记在表达式以前的单引号：

 

> '(+ 1 2)        ;单引号速记符
(+ 1 2)

也就是说，上边的表达式与(quote (+ 1 2))是相同的。

    一旦你学会如何启动一个计算机程序，确保指导如何退出程序是个好主意。在大多数Lisp系统里你能够经过使用exit函数退出。在提供%的shell提示符的UNIX操做系统里，使用exit函数应该会返回shell：

 

> (exit)
%

其它操做系统可能会提供额外的退出方式。例如，在Macintosh操做系统里，你能够到“文件”菜单里选择“退出”选项退出。

练习 2.1

先预测，再上机实验。

a) (+ 3 5 6)

b) (+ (- 1 2) 3)

c) '(+ 3 5 6)

d) (+ (- (* 2 3) (/ 6 2)) 7)

e) 'x

f) ''x

2.2 初级计算与绘图

    本节介绍一些在Lisp-Stat里可用的基本的数值与绘图操做。

2.2.1 一维概要与图形

    统计数据常常是由数字组组成的。做为一个例子，下表展现了Minnea-St地区30年间3月份降水量数据记录，单位为英寸。

为了在Lisp-Stat里检测这些数据，咱们能够list函数将数据从新显示为数字列表，表达式以下：

> (list .77 1.74 .81 1.20 1.95 1.20 .47 1.43 3.37 2.20
      3.00 3.09 1.51 2.10 .52 1.62 1.31 .32 .59 .81
      2.81 1.87 1.18 1.35 4.75 2.48 .96 1.89 .90 2.05)

 

 

这些数字必须用空格分开，不是逗号。解释器容许你跨多行表示数据，它不会求值直到你完成表达式的书写并键入回车为止。

"mean"函数可用来计算数字列表的平均值。咱们能够用它和list函数组合在一块儿，来求取降水量样本数据的平均值：

> (mean (list .77 1.74 .81 1.20 1.95 1.20 .47 1.43 3.37 2.20
      3.00 3.09 1.51 2.10 .52 1.62 1.31 .32 .59 .81
      2.81 1.87 1.18 1.35 4.75 2.48 .96 1.89 .90 2.05))
1.675

降水量的中位数能够这么计算：

> (median (list .77 1.74 .81 1.20 1.95 1.20 .47 1.43 3.37 2.20
      3.00 3.09 1.51 2.10 .52 1.62 1.31 .32 .59 .81
      2.81 1.87 1.18 1.35 4.75 2.48 .96 1.89 .90 2.05))
1.47

    每次咱们想对数据样本进行统计计算的时候，都不得不敲入30组数字，这固然是一件使人恼火的事情。为了不作那要的工做，咱们能够Lisp-Stat的一个特殊形式"def"来给数据列表一个变量名。

> (def precipitation
       (list .77 1.74 .81 1.20 1.95 1.20 .47 1.43 3.37 2.20
             3.00 3.09 1.51 2.10 .52 1.62 1.31 .32 .59 .81
             2.81 1.87 1.18 1.35 4.75 2.48 .96 1.89 .90 2.05))
PRECIPITATION

如今，符号precipitation有一个值与它绑定了，咱们的30个数字的列表能够这样得到：

> precipitation
(.77 1.74 .81 1.20 1.95 1.20 .47 1.43 3.37 ...)

如今，咱们再对这些数据记性各类数值描述性统计及容易得多了：

> (mean precipitation)
1.675

> (median precipitation)
1.47

> (standard-deviation precipitation)
1.00062

> (interquartile-range precipitation)
1.145

    函数histogram和boxplot能够用来得到样本数据的图形化展现，见图2.1和图2.2。

> (histogram precipitation)
#<Object: 143cd68, prototype = HISTOGRAM-PROTO>

> (boxplot precipitation)
#<Object: 145ef04, prototype = SCATTERPLOT-PROTO>

图2.1 数据柱状图

图2.2 数据盒图

这两个表达式是会将绘图窗口显示在显示器上。这两个函数返回两条相似这样的信息：

#<Object: 143cd68, prototype = HISTOGRAM-PROTO>

这个结果以后会被用来识别包含图形的窗口，但这会儿你能够忽略它。

    Lisp-Stat也支持数字列表数据的对应元素相乘操做（点乘）。例如，咱们能够在降水量数据的每一个元素上加1：

> (+ 1 precipitation)
(1.77 2.74 1.81 2.2 2.95 2.2 1.47 2.4299999999999997 4.37 3.2 4.0 4.09 2.51 3.1 1.52 2.62 2.31 1.32 1.5899999999999999 1.81 3.81 2.87 2.1799999999999997 2.35 5.75 3.48 1.96 2.8899999999999997 1.9 3.05)

或者计算它们的天然对数，

> (log precipitation)
(-0.2613647641344075 0.5538851132264376 -0.21072103131565253 0.1823215567939546 0.6678293725756554 0.1823215567939546 -0.7550225842780328 0.3576744442718159 1.2149127443642704 0.7884573603642703 1.0986122886681098 1.128171090909654 0.412109650826833 0.7419373447293773 -0.6539264674066639 0.4824261492442928 0.2700271372130602 -1.1394342831883648 -0.527632742082372 -0.21072103131565253 1.0331844833456545 0.6259384308664954 0.16551443847757333 0.30010459245033816 1.55814461804655 0.9082585601768908 -0.040821994520255166 0.636576829071551 -0.10536051565782628 0.7178397931503168)

或者平方根：

(sqrt precipitation)
(0.8774964387392122 1.3190905958272918 0.9 1.0954451150103321 1.396424004376894 1.0954451150103321 0.6855654600401044 1.1958260743101399 1.835755975068582 1.4832396974191326 1.7320508075688772 1.7578395831246945 1.2288205727444508 1.449137674618944 0.7211102550927979 1.2727922061357855 1.1445523142259597 0.565685424949238 0.7681145747868608 0.9 1.676305461424021 1.3674794331177345 1.0862780491200215 1.161895003862225 2.179449471770337 1.5748015748023623 0.9797958971132712 1.374772708486752 0.9486832980505138 1.4317821063276353)

    降水量数据的分布有些右偏，平均值和中位数是分离的。你可能想要试着作一些简单的变换来看看可否对称化数据，好比说平方根或者对数。你能够查看图形和概要统计来肯定是否这些变换确实致使数据更加对称化一些。例如，能够用下边的表达式计算数据样本的平方根的均值：

> (mean (sqrt precipitation))
1.2401878297708169

也能够得到样本数据的平方根的柱状图：

> (histogram (sqrt precipitation))

    boxplot函数还能用来并列地产生两个或者更多的数据样本。只须要传递给boxplot函数列表型参数，这个列表型参数是由多个列表数据组成的，其中的每条列表数据都是要显示在统计图形串口上的数据样本。让咱们用这个函数测试一些数据样本，这些数据来源于危地马拉的一些社会经济学团体对血液化学的研究。高收入的城市区域和低收入的乡村区域样本的血清总胆固醇数据，能够用下边的表达式输入：

> (def urban (list 206 170 155 155 134 239 234 228 330 284
                   201 241 179 244 200 205 279 227 197 242))
URBAN

> (def rural (list 108 152 129 146 174 194 152 223 231 131
                   142 173 155 220 172 148 143 158 108 136))
RURAL

并列的盒图能够用如下表达式表示：

> (boxplot (list urban rural))

结果见图2.3。

图2.3 危地马拉城市与乡村总胆固醇水平并列盒图

练习 2.2

先预测，后实践，并解释其间的不一样。

a) (mean (list 1 2 3))

b) (+ (list 1 2 3) 4)

c) (* (list 1 2 3) (list 4 5 6))

d) (+ (list 1 2 3) (list 4 5))

练习 2.3

略。

练习 2.4

略。

2.2.2 二维绘图

    不少单同样本是随着时间的推移收集的。上面用到的降水量数据就是一个例子。在一些状况下假设观测数据之间相互独立式合理的，但在有的状况下是不合理的。检查数据以得到序列相关性和趋势的一种方式，就是绘制观测数据相对于时间，或者相对于数据自身顺序的图形。咱们可使用plot-points函数来产生一幅降水量数据相对于时间的散点图。plot-points函数使用下边的表达式形式调用：(plot-points <x-variable> <y-variable>)。其中，<y-variable>能够是precipitation，就是咱们之前定义的变量；<x-variable>咱们可使用从1到30的天然数序列，咱们能够本身手动输入，但有一个更简单的办法，使用函数integer-sequence的简写形式iseq来生成两个指定值之间的连续天然数列表。调用iseq函数的通常形式是这样的: (iseq <start> <end>)。为了生成咱们须要的序列，咱们使用：

 

> (iseq 1 30)

那么为了生成散点图，咱们须要键入如下表达式：

 

> (plot-points (iseq 1 30) precipitation)

结果见图2.4。对数据来讲，本图彷佛过多的形式，独立性的假设对该数据来讲多是合理的。

图2.4 降水量水平相对于时间的散点图

    有时用线将点链接起来，就很容易在图形里看到时间形式。使用plot-lines函数能够构造一个链接点数据的链接线。plot-lines也能够被用来构造函数的曲线图。假设你想获得自变量在-π到+π范围内的sin(x)函数的图形，其中常量π由变量pi预约义，你可使用这个表达式：(rseq <a> <b> <n>)来构建数字a与b之间的n等间隔实数。那么为了绘制间隔数为50的等间隔点的sin(x)函数的图像，能够这样：

 

> (plot-lines (rseq (- pi) pi 50) (sin (rseq (- pi) pi 50)))

你也能够先定义一个变量x来简化这个表达式，

 

> (def x (rseq (- pi) pi 50)

而后从新构造表达式：

 

> (plot-lines x (sin x))

最终图形见图2.5。

图2.5 sin(x)图形

    散点图在检测两组数值观测量之间的关系上，固然是很是有用的，这两组观测量是针对同一目标的。一项针对机动车尾气排放过程的研究给出了46两汽车的HC和CO排放数据，结果放在两个变量hc和co里：

 

> (def hc (list .50 .65 .46 .41 .41 .39 .44 .55 .72 .64 .83 .38
                .38 .50 .60 .73 .83 .57 .34 .41 .37 1.02 .87 1.10
                .65 .43 .48 .41 .51 .41 .47 .52 .56 .70 .51 .52
                .57 .51 .36 .48 .52 .61 .58 .46 .47 .55))

> (def co (list 5.01 14.67 8.60 4.42 4.95 7.24 7.51 12.30
                14.59 7.98 11.53 4.10 5.21 12.10 9.62 14.97
                15.13 5.04 3.95 3.38 4.12 23.53 19.00 22.92
                11.20 3.81 3.45 1.85 4.10 2.26 4.74 4.29
                5.36 14.83 5.69 6.35 6.02 5.79 2.03 4.62
                6.78 8.43 6.02 3.99 5.22 7.47))

而后，能够用plot-points函数将它们一一对应地绘制到一幅图里：

> (plot-points hc co)

结果见图2.6。

图2.6 机动车尾气排放的CO相对HC图形

练习2.6 

略。

2.2.3 绘图函数

    上一节中，正弦函数的制图函数显得很是笨重。做为一个代替品，咱们可使用plot-function来绘制有一个参数的函数，该参数有一个指定的范围。为了产生图2.5中的图形，咱们可使用表达式：

> (plot-function (function sin) (- pi) pi)

    表达式(function sin)用来提取与符号sin相关联的Lisp函数，仅仅使用sin还不够，缘由是Lisp里的符号多是由def设定的数值，同时也多是一个函数定义。起初这一特性看起来有些奇怪，可是它也有一个很大的优点——键入一个像这样的合法表达式：

> (def list '(2 3 4))

而不会销毁list函数。

    从一个符号里提取一个函数定义就像引用表达式同样常见。因此又有一个新的可用的缩写符号，表达式#'sin和表达式(function sin)是等价的（注：这点与Common Lisp里类似，有兴趣的朋友能够参考Common Lisp里的function和apply的用法）。#'的读音是sharp-quote。使用这个缩写，产生正弦图形的表达式能够写成这样：

> (plot-function #'sin (- pi) pi)

2.3 进一步了解解释器

    Lisp-Stat解释器容许保存建立的变量，能够部分或所有地记录与解释器的会话。另外，它还提供了得到最近几条计算结果的机制，还有得到在线帮助的机制。这几个特性可能根据所运行的系统的不一样稍微有些差别，尤为是在线帮助系统，例如，一些系统可能提供了单独的帮助窗口。个人相关工做是基于XLIST-STAT这一实现版本的。

2.3.1 保存你的工做

    若是你想要与解释器的一个会话，你可使用dribble函数。表达式

> (dribble "myfile")

将开始一个记录。全部你输入的表达式和解释器返回的结果都会输入到这个叫myfile的文件，表达式

> (dribble)

会中止录制工做。表达式(dribble "myfile")一般会开始一个名称为myfile的新文件，若是你已经有了这个名字的文件，其内容将所有丢失。所以你不能用dribble函数对单个文件进行开启和关闭。

    dribble仅会记录文本，不会记录图形。Macintosh的XLISP-STAT里你能使用标准Macintosh快捷命令COMMAND-SHIFT-3来保存当前屏幕的图像。也能够到Edit菜单里选择Copy命令，或者其快捷键COMMAND-C，图形窗口是一个活动窗口，用来将内容保存到剪切板。在X11版的XLISP-STAT，绘图菜单包含一个选项，该选项能够将图形的PostScript版本保存成文件。

    你在Lisp-Stat里定义的变量只能存在于当前会话，若是你从Lisp-Stat里退出，或者程序崩溃了，你的数据就会丢失。为了保存你的数据可使用savevar函数。这个函数容许你将一个或多个变量保存到一个文件里。新文件建立时，任何同名文件都会被销毁。为了将变量precipitation保存到一个名为precipitation.lsp的文件，键入：

> (savevar 'precipitation "precipitation")

不须要加.lsp后缀名，savevar会帮你加上的。为了保存两个变量hc和co到examples.lsp文件，键入：

(savevar '(hc co) "samples")

我使用一个带引号的列表'(hc co)并将该符号列表传递给savevar函数。还有一个长点的表达式能够代替它：(list 'hc 'co)。

    文件precipitation.lsp和samples.lsp得到了表达式集合，当使用read函数读取这两个文件的时候，它们将从新建立precipitation、hc和co变量。为了加载precipitation.lsp文件，可使用以下表达式：

> (load "precipitation")

2.3.2 命令历史机制

    Common Lisp提供了一个简单的命令历史机制。符号 -, *, **, ***, +, ++和+++就是为实现这一意图的。解释器将这些符号与其意义绑定以下：

• -             当前输入的表达式
• +            读取最近一个表达式
• ++          +返回的表达式的前一个表达式
• +++        ++返回的表达式的前一个表达式
• *             最近的一个表达式的结果
• **            *所属表达式的前一个表达式的结果
• ***           **所属表达式的前一个表达式的结果

    *, **, ***这三个变量也许是最有用的。例如，若是你想求某个变量的对数值，但忘了给它定义变量名，你就可使用那几个历史变量来避免重复计算对数：

> (log precipitation)
(-0.2613647641344075 0.5538851132264376 -0.21072103131565253 0.1823215567939546 0.6678293725756554 0.1823215567939546 -0.7550225842780328 0.3576744442718159 1.2149127443642704 0.7884573603642703 1.0986122886681098 1.128171090909654 0.412109650826833 0.7419373447293773 -0.6539264674066639 0.4824261492442928 0.2700271372130602 -1.1394342831883648 -0.527632742082372 -0.21072103131565253 1.0331844833456545 0.6259384308664954 0.16551443847757333 0.30010459245033816 1.55814461804655 0.9082585601768908 -0.040821994520255166 0.636576829071551 -0.10536051565782628 0.7178397931503168)
> (def log-precip *)

如今，变量log-precip就包含降水量数值的对数了。

    系统利用了2.2.3节讨论的一个事实，那就是符号能够同时又函数定义和数值。符号*的函数定义是乘法函数，它的值是解释器返回的上一个求值结果。

2.3.3 获取帮助

Lisp-Stat提供了大量的不一样的函数。咱们不可能精确地记起每一个函数的用法。一个交互式的帮助应用能够完成一些任务：找出须要的正确的函数，找出如何更容易地使用这个函数。例如，下边就是如何得到median函数帮助的例子：

> (help 'median)
loading in help file information - this will take a minute ...done
MEDIAN                                                          [function-doc]
Args: (x)
Returns the median of the elements of X.
NIL
>

median函数前面的引号是必要的。help函数自己也是函数，它的参数是median函数的符号形式。为了确保help函数可以接受到符号，而不是符号的值，你须要引用(quote)这个符号(symbol)。

    若是你对函数的名字不肯定，你可能须要使用help*函数来获取帮助。假设你想找出与正太分布相关的函数，它们的名字里多数都包含"norm"，表达式(help* 'norm)将打印函数名里包含"norm"的全部符号的帮助信息：

(help* 'norm)
------------------------------------------------------------------------------
BIVNORM-CDF                                                     [function-doc]
Args: (x y r)
Returns the value of the standard bivariate normal distribution function 
with correlation R at (X, Y). Vectorized.
------------------------------------------------------------------------------
Sorry, no help available on NORM
------------------------------------------------------------------------------
Sorry, no help available on NORMAL
------------------------------------------------------------------------------
NORMAL-CDF                                                      [function-doc]
Args: (x)
Returns the value of the standard normal distribution function at X.
Vectorized.
------------------------------------------------------------------------------
NORMAL-DENS                                                     [function-doc]
Args: (x)
Returns the density at X of the standard normal distribution. Vectorized.
------------------------------------------------------------------------------
NORMAL-QUANT                                                    [function-doc]
Args (p)
Returns the P-th quantile of the standard normal distribution. Vectorized.
------------------------------------------------------------------------------
NORMAL-RAND                                                     [function-doc]
Args: (n)
Returns a list of N standard normal random numbers. Vectorized.
------------------------------------------------------------------------------
Sorry, no help available on NORMALREG-MODEL
------------------------------------------------------------------------------
Sorry, no help available on NORMALREG-PROTO
------------------------------------------------------------------------------
NIL
>

符号norm, normal, normalreg-model和normalreg-proto没有函数定义，所以没有可用的帮助信息。函数文档里的术语vectorized意味着这个函数能够被应用到形式为列表的参数上；它的结果是这个函数做用到参数的每个元素后返回的结果列表。文档中出现的一个相关的术语是vector reducing。若是一个函数能够递归地操做它的参数，直到只剩一个单独的数字为止，那么这个函数就是vector reducing(矢量减小)的。函数sum, prod, max和min都是矢量减小的。

    做为使用help*的替代品，你可使用apropos函数来得到包含字符串"norm"做为其名字一部分的那些符号的列表：

> (apropos 'norm)
NORMALREG-PROTO
NORMALREG-MODEL
NORM
BIVNORM-CDF
NORMAL-QUANT
NORMAL-RAND
NORMAL
NORMAL-CDF
NORMAL-DENS
>

而后使用help函数询问每一个符号的更多信息。

    让我来简要地介绍一下help函数打印的信息所用到的表示方法，来描述一个函数指望参数有的功能。表示方法对应的Lisp函数定义的参数列表的规格将在4.2节描述。多数函数指望参数列表是固定的，想在帮助信息里的这行同样： Args: (x y z)。有的参数可能会接收一个或多个可选参数，这种函数的参数可能会这样表示： Args: (x &optional y (z t))，这意味着x是必选参数，y和z是可选参数。若是这个函数命名是f，能够这样调用：(f x-val), (f x-val y-val)，或者(f x-val y-val z-val)。列表(z t)意味着没有提供参数z，那它的默认值就是t；y是没有强制指定默认值的参数，所以它的默认值是nil。实参必须按照形参规定的顺序和规则来提供，所以若是你要是想传递参数z，那就必须先对y赋值。

    另外一个形式的可选参数是关键字参数。例如，histogram函数的参数是这样的：Args: (data &key (title "Histogram"))，data参数是必选的，title就是可选的关键字参数，其默认值是"Histogram"。若是你用2.2.1节用到的降水量数据建立一张表，它的名字是"Precipitation"能够用这个表达式：

> (histogram precipition :title "Prcipitation")

图2.7 图形title修改示意图

所以，为了给关键字参数一个值，你将须要显式地给出这个关键字名，也就是一个由冒号紧跟着参数名的一个符号，而后是这个参数的值。若是一个函数带多个关键字参数，在调用时这些关键字参数之间的顺序能够任意指定，前提是他们需呀在必选参数可可选函数以后。（注：关于这点建议参考《实用Common Lisp编程》第4.2~4.5节，认真实践，方可领悟！）

    最后，一些函数可能带不定数量的参数，可用下式表示：Args: (x &rest ars)。该参数列表表示参数x是必选参数，同时能够带0个到多个附加参数。（注：至关于C语言参数列表里的 “...”）

    除了函数，help函数还能针对数据类型和一些变量给出帮助信息。例如：

> (help 'complex)
loading in help file information - this will take a minute ...done
COMPLEX                                                         [function-doc]
Args: (realpart &optional (imagpart 0))
Returns a complex number with the given real and imaginary parts.
COMPLEX                                                             [type-doc]
A complex number
NIL

这个例子展现了complex复数数据类型的功能和类型信息。下边这个例子

> (help 'pi)
PI                                                              [variable-doc]
The floating-point number that is approximately equal to the ratio of the
circumference of a circle to its diameter.
NIL

展现了pi这个变量的文档。

2.3.4 列举变量和取消变量定义

    在工做一段时间以后，你可能想要查明使用def宏定义了哪些变量，variables函数将以列表的方式返回这些变量：

> (variables)
(CO HC PRECIPITATION RURAL URBAN)

    你可能偶尔对不在使用的变量进行释放以得到一些空间。要达到这个目的你可使用undef函数：

> (undef 'co)
CO

> (variables)
(HC PreCIPITATION RURAL URBAN)

undef的参数是一个符号(symbol)，本例总咱们必须引用它以免解释器对其求值。undef也能接受符号列表当作参数，所以想要取消定义当前全部已经定义的变量，能够这样：

> (undef (variables))
(HC PRECIPITATION RURAL URBAN)
> (variables)
NIL

2.3.5 中断计算

偶尔你可能在系统里开始了这样一种计算，它耗用了太长的时间或者产生了一个看起来不合理的结果。每一个系统都提供了一个机制来中断这样的计算过程，可是这些机制依据系统的不一样而不一样。在Macintosh操做系统下的XLISP-STAT里，你能够按住COMMON键和PERIOD键直到系统将解释器交由你来输入。在UNIX版本的XLISP-STAT里，你能够按下为你的系统准备的中断键组合来中断这种计算，一般这个中断键组合为CONTROL+C。

2.4 一些数据处理函数

    目前为止咱们都是将数据直接敲到解释器里的，数据集较小，因此这也不是什么大问题，然而，有其它的替代方法会更有用。Lisp-Stat提供了一些函数，能够生成系统的数据和随机数据，能够提取数据集的一部分，修改数据集，而且能够从文件中读取数据。

2.4.1 生成有系统的数据

    函数iseq用来生成连续的整数序列，rseq用来生成等间隔的实数序列，它们在2.2.2节提到了。函数iseq也能够经过传递一个单独参数来调用，这种状况下参数应该是一个正整数n，结果是从0到n-1的整数列表。例如：

> (iseq 10)
(0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)

    函数repeat在生成具备必定格式的序列时是颇有用的，调用repeat函数的通常格式是(repeat <vals> <pattern>)，参数<vals>多是简单的数据项或者数据项列表，参数<pattern>必须是一个单独的正整数或者一组正整数列表。若是<pattern>是一个单独的正整数，repeat就会将<vals>重复<pattern>次，例如：

> (repeat 2 3)
(2 2 2)

> (repeat (list 1 2 3) 2)
(1 2 3 1 2 3)

若是<pattern>是一个列表，那么<vals>应该是一个与<pattern>相同长度的列表，本例中，<vals>和<pattern>两个列表中相同位置的元素市一一对应的，<pattern>中每一个元素的值对应<vals>列表中相对元素重复的次数。例如：

> (repeat (list 1 2 3) (list 3 2 1))
(1 1 1 2 2 3)

    函数repeat在设计实验中的编码处理层面上是极其有用的。例如，在一个测试植物种植密度对马铃薯生长的影响的实验里，有3个品种的马铃薯，种植在4个不一样种植密度的地方，每一种测试组合重复3次，结果在下表中：

咱们能够将这些数据按行，输入到产量变量里，如：

> (def yield (list  9.2 12.4  5.0  8.9  9.2  6.0 16.3 15.2  9.4
                    12.4 14.5  8.6 12.7 14.0 12.3 18.2 18.0 16.9
                    12.9 16.4 12.1 14.6 16.0 14.7 20.8 20.6 18.7
                    10.9 14.3  9.2 12.6 13.0 13.0 18.3 16.0 13.0))

使用repeat，咱们能够这样生成表示不一样品种和密度水平的变量：

> (def variety (repeat (repeat (list 1 2 3) (list 3 3 3)) 4))
VARIETY
> (def density (repeat (list 1 2 3 4) (list 9 9 9 9)))
DENSITY
>

练习2.7

略。

练习2.8

略。

2.4.2 生成随机数据

    一些函数能够生成伪随机数字，例如，表达式(uniform-random 50)将生成一个的数字列表，列表的元素是50个在0和1之间的独立随机均匀分布的数字。函数normal-rand和cauchy-rand也相似地生成标准正态的或标准柯西随机变量。表达式：

> (gamma-rand 50 4)
(1.65463390351748 2.8773826027572174 3.324805876512575 3.7107737590852885 2.5322960063057325 2.3917079623070143 2.5738732854681405 5.114579884756656 4.503560922291987 3.8212691381896735 4.748609795710945 2.460930129538628 5.1583129719078125 2.8722892003673204 2.271632493827859 1.306689218830528 2.956587212984247 2.254496336799741 1.5432493948171886 1.0074517838362944 2.3221187903990685 2.9297357635208368 1.9111207190664348 4.086600231358658 8.498775494298609 3.309145002227253 8.43403656671126 2.9001355594385445 2.156028887326921 5.457111466807575 2.7180957670090233 6.727592025517272 3.2182935800579466 4.759355290676398 2.1463912302657 4.641326968027183 4.951716760175214 2.9685374305637593 5.934043534710339 6.847560103820065 5.612014958257557 4.4811213649680814 7.4465265497488975 2.6911820555097306 1.0087771420430949 1.4549088997831112 5.276729335543616 2.773807551655783 3.565519147704477 2.7611738530317305)

生成一个大小为50的数据样本，这些数据符合伽马-分布，单位尺度，指数为4。

指数为3.5~7.2的β分布变量能够这样生成：

> (beta-rand 50 3.5 7.2)
(0.4565276604553964 0.2784641511528651 0.1992946182796908 0.15531331094658482 0.1524256312642991 0.26070619189857414 0.26797467262440017 0.22086809762954612 0.30818508575346343 0.31431320706862537 0.4767943879658169 0.3103165584027092 0.3099168733453603 0.48844354838756315 0.3850748530401529 0.5261394345014925 0.4729101627118159 0.34008228819566094 0.34728211784541685 0.11375668596438508 0.3177405260351405 0.15233790451255871 0.3247481923221466 0.16163693218582695 0.34148249992894264 0.26747115750175693 0.1917463536194362 0.3096184276126184 0.2815407126874605 0.27277307887112906 0.5364074613555034 0.5343432853990229 0.7113134763751001 0.2008014529296493 0.1610644249288089 0.14281693672275156 0.1994676889199915 0.3627351688059498 0.4983412412275205 0.4279902846854145 0.42865178072445864 0.32624949341033294 0.38525682966664915 0.3395031181658098 0.35242269440634416 0.3010577148339438 0.3497046925914022 0.12251980989006983 0.3635843569985974 0.12912742911247255)

大小为50，自由度为4的t-分布随机变量样本：

> (t-rand 50 4)

自由度为4的卡方-分布随机变量的生成表达式：

> (chisq-rand 50 4)

分子自由度为3，分母自由度为12的F-分布的随机变量的生成表达式：

> (f-rand 50 3 12)

    参数n=5，p=0.3的二项式分布样本生成表达式为：

> (binomial-rand 50 5 .3)

大小为50，指望值λ=4.3的泊松-分布随机数据样本生成表达式：

> (poisson-rand 50 4.3)

    这些样本生成函数的“大小”这一参数也能够是一个整数列表，相应地，返回的结果是样本列表的列表(即多条样本列表)。例如：

> (normal-rand (list 10 10 10))
((0.24711492524397788 -0.08672761627290786 -0.3586542916304954 -1.2370666723700587 0.4973152707135397 1.2779437429528906 0.5433681505645361 -0.15811161781047764 -2.444951338731246 1.4391452075883056) 
(-0.024198159865474137 0.018494098689563702 -1.201497046490873 0.29215227642978814 -0.1504967544867967 0.8539957140604427 0.1866809359842353 -0.3235190277039044 1.2316501558225053 -0.3173822473522208) 
(2.6816999640212815 1.312819856883247 0.3381892163767421 0.20384488399908143 0.9360472535774436 -1.3160001465807794 0.033750173542764696 -0.4613961332004225 -0.9523674256520025 -2.2724093805908905))

该表达式产生了一个列表集，其中的每一个列表都是有十个正态分布变量的列表。

    最后，你可使用sample函数从一个列表里随机里选出一个数据样本，表达式(sample (iseq 1 20) 5)的返回值就是,在1, 2, ..., 20这个列表里，随机地选择5个元素，组成一个大小是5的新的没有重复元素的样本,其结果多是：

> (sample (iseq 1 20) 5)
(2 19 1 3 5)

sample函数能够经过启用第三个参数（一个可选参数）来指定采样元素是否能够重复。那么下个表达式

> (sample (iseq 1 20) 5 t)
(11 11 5 4 16)

将容许sample函数在采样的时候容许元素重复（注：原文使用replacement表示的，但我没法翻译成合适的中文，若是有更精确的翻译，欢迎指正）。

第三个参数为nil时，sample函数采样时不容许元素重复，这与忽略这个参数的状况是同样的。

练习2.9

略。

2.4.3 创建子集和删除

select函数容许你从一个列表里选择一个单独的元素或者一组元素。例如，你这样定义了一个x变量：

> (def x (list 3 7 5 9 12 3 14 2))

那么

> (select x i)

将返回变量x的第i个元素。Lisp语言列表的下标是从0开始的，这点与C语言相同，可是和FORTRAN不一样。所以它的下标应该是0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7，因此有：

> (select x 0)
3
> (select x 2)
5

为了获取一组元素，咱们可使用下标数组来代替单个的下标，即：

> (select x (list 0 2))
(3 5)

    若是你想选择除了下标为2的元素以外的全部元素的话，使用如下表达式

> (remove 2 (iseq 8))

来产生下标序列，并把它做为select函数的第二个参数：

> (select x (remove 2 (iseq 8)))
(3 7 9 12 3 14 2)

表达式(iseq 8)生成了从0到7的整数列表。remove函数会返回一个移除指定元素的列表，那么

> (remove 3 (list 1 3 4 3 2 5))
(1 4 2 5)

剩下的元素按它们在原始列表里的顺序返回。

    另外一个返回除了2号下标元素的方法是使用对照函数"/="（意思是“不等于”）来告诉你哪些下标不等于2：

> (/= 2 (iseq 8))
(T T NIL T T T T T)

函数which可以返回，其函数的参数的不是nil的哪些下标的元素的列表，即

> (which (/= 2 (iseq 8)))
(0 1 3 4 5 6 7)

结果能够传递给select函数：

> (select x (which (/= 2 (iseq 8))))
(3 7 9 12 3 14 2)

对于删除一个元素来讲，这个方法有一点太笨重了，然而它倒是一个通用的方法。例如以下表达式

> (select x (which (< 3 x)))
(5 7 9 12 14)

将返回全部比3大的元素。

    因为咱们在上边几个例子里用到的x变量比较短，经过数数咱们也能够很容易地肯定他的长度。对于再长点儿的列表就不太容易了，咱们可使用length函数来实现。使用length函数，咱们也能实现"选择除了下边为2的其它元素"这一功能：

> (select x (remove 2 (iseq (length x))))

练习2.10

略。

2.4.4 合并列表

    有时你可能想将几个短的列表合并为一个长的列表，能够用append和combine函数来完成。例如，

> (append (list 1 2 3) (list 4) (list 5 6 7 8))
(1 2 3 4 5 6 7 8)

或者

> (combine (list 1 2 3) (list 4) (list 5 6 7 8))
(1 2 3 4 5 6 7 8)

这两个函数的不一样在于它们对列表的列表的处理方式上。append函数只合并外部列表，而combine函数会递归地调用到子列表，并返回一个没有复合元素的列表（即不包含子列表）：

> (append (list (list 1 2) 3) (list 4 5))
((1 2) 3 4 5)

> (combine (list (list 1 2) 3) (list 4 5))
(1 2 3 4 5)

combine函数容许他的参数是数字或者其它简单数据项，好比：

> (combine 1 2 (list 3 4))
(1 2 3 4)

而append函数的参数必须是列表(list)形式，不然会报错。

> (append 1 2 (list 3 4))
Error: bad argument type - 1
Happened in: #<Subr-APPEND: #14644cc>

2.4.5 修改数据

    setf能够用来修改列表的单个元素或者列表的元素集合。再一次假设咱们设置了一个列表x：

> (def x (list 3 7 5 9 12 3 14 2))

咱们想把12改为11，使用以下表达式(setf (select x 4) 11)来作这个替换：

> (setf (select x 4) 11)
11
> x
(3 7 5 9 11 3 14 2)

    setf的通常形式为(setf <form> <value>)，这里<form>是你想改变的列表里的那个元素或元素组，<value>是你想要改变成的那个值或多个值得列表。那么表达式(setf (select x (list 0 2)) (list 15 16))将下标为0和2的元素的值改为15和16，即：

> (setf (select x (list 0 2)) (list 15 16))
(15 16)
> x
(15 7 16 9 11 3 14 2)

    这里须要有一个小提示，Lisp符号只不过是不一样项的标签而已，当咱们使用def命令为一个项分配名字时，咱们并无产生一个新项，所以，表达式(def x (list 1 2 3 4))求值以后，在进行(def y x)，符号x和符号y是针对相同列表的两个不一样的名字。结果，咱们使用setf对x的元素进行操做时，咱们同时也改变了y的值，由于x和y在引用一个相同的列表。若是你想作一份x的拷贝，而且在x改变以前将之保存到y里，那么须要你强制执行，此时须要使用copy-list函数。表达式(def y (copy-list x))制做了x的一份拷贝，并将它设置给y变量。如今x与一引用了不一样的项，改变x将不会影响到y的值。

    setf也能够用来将一个值分配给一个符号，好比：

> (setf z 3)
3
> z
3

使用def而不使用setf来定义变量是有优点的，那就是def会记录它定义过的变量的名称，并容许使用variables函数找出可用的变量。setf还有一些其余用法，那些咱们等到3.8节再讲。

练习 2.11

略。

2.4.6 读取数据文件

两个可用的读取数据的文件是read-data-columns和read-data-file。

第一个是read-data-columns，是被设计来读取包含一些数据列的文件的。它带两个参数：表示文件名的字符串和一个整数，表示文件里的列数。它返回一个列表集的列表，其中每一列都放到一个列表里。数据里的每项能够由任意数目的空格分开，可是不能用逗号和其它标点符号。每项多是任何合法的Lisp表达式，特别地，他们能够是数字、字符串或符号。全部的列必须是等长的。返回的结果列表里的内容均可以使用select函数提取。

    假设咱们有一个叫作mydata的文件，包含两列数字数据。咱们想要读取这些数据并将数据列分别命名为x和y，咱们能够首先读取整个文件并将结果保存到名为mydata的变量里：

> (def mydata (read-data-columns "mydata" 2))

如今，变量mydata的值是一个包含两个数字列表的列表。为了提取和命名这两个数据列表，咱们能够用以下表达式：

> (def x (select mydata 0))

> (def y (select mydata 1))

read-data-columns的第二个参数是可选的。若是没提供，那么数据的列数将由从第一个非空行开始的全部数目肯定。

    在有的系统上，文件名参数也多是可选的，若是忽略了该参数，将出现一个对话框以选择要读取的文件。

    若是数据文件不是按列形式组织的，你可使用read-data-file函数读取文件的全部内容，并以单独一个列表的形式返回。该列表可使用Lisp-Stat函数操做成为合适的形式。文件条目是为read-data-columns准备的，函数read-data-file带单一参数，是一个要读取的文件名的字符串，有的系统里你能够忽略这个参数，并使用对话框选择要读取的文件。

    这两个函数可以知足大多数的需求，若是你必需要读取非指定格式的文件，你可使用lisp的原始的文件处理函数，这些将在第4.5节描述。

2.5 动态绘图

    在第2.2节里，咱们使用直方图和散点图来测试单变量和两个变量之间关系的分布状况。本节咱们将介绍一些动态绘图方法和能够探头3个或多个变量之间关系的绘图技术。前4个小节的绘图技术和方法很简单，仅须要一些鼠标操做和简单的命令。第5小节将介绍绘图对象的概念，还有从解释器向一个对象发送消息的方法。这些想法是用来向散点图里加入直线和曲线。对象和消息的基本概念在2.6节回归模型一节里还要用到。最后一小节将展现如何使用Lisp迭代器来构造动态模拟动画，一副运动的图形。

2.5.1 旋转图

    在探索多个变量之间的关系的时候，咱们很天然会想到构造一个数据的三维散点图。固然，咱们只能在显示屏上看到一个该图形的二维投影，任何关于该数据的你能经过线性模型感知到的图形深度信息都会丢失。一个试图恢复图形深度感知的方法就是绕着某一坐标轴旋转这些点。spin-plot函数容许你构造一个可以旋转的三维图形。

    举个例子，让咱们看一些收集好的数据，来检测一下材料损耗量（当橡胶样本与研磨材料一块儿摩擦式发生的）与标本两个属性之间的关系，硬度和抗拉强度。 硬度用邵氏度来度量，抗拉强度用kg/cm²度量，研磨损失用g/马力小时度量。数据能够这样输入：

> (def hardness
       (list 45 55 61 66 71 71 81 86 53 60 64 68 79 81 56 68 75
             83 88 59 71 80 82 89 51 59 65 74 81 86))
HARDNESS
> (def tensile-strength
       (list 162 233 232 231 231 237 224 219 203 189 210 210 196
             180 200 173 188 161 119 161 151 165 151 128 161 146
             148 144 134 127))
TENSILE-STRENGTH
> (def abrasion-loss
       (list 372 206 175 154 136 112  55  45 221 166 164 113  82
              32 228 196 128  97  64 249 219 186 155 114 341 340
             283 267 215 148))
ABRASION-LOSS

表达式

> (spin-plot (list hardness tensile-strength abrasion-loss))
#<Object: 136b4f8, prototype = SPIN-PROTO>

将产生一幅图形。

图2.7 磨损数据的旋转图

spin-plot函数的参数是一个含有3个list或vector类型的list，表示x, y, z三个变量。初始条件下z轴垂直屏幕并指向屏幕外部。你能够将鼠标放到Pitch、Roll和Yaw前的小方框里，而后点击鼠标来旋转图形。经过旋转图形，你能够看到全部点几乎落到同一个平面上。

图2.8 磨损数据的第二个视图

图2.8展现的数据基本在一个平面上。所以，线性模型应该能提供合理的修正。事实上，在执行一段时间的旋转操做以后，你会注意到数据点会有轻微的扭曲，暗示了存在一些二阶项成分。不幸的是，在打印图里这部分信息很难传达给用户。

    spin-plot函数的一些选项能够被指定为关键字参数，给:title关键字传递一个字符串就能够为绘图窗体制定一个可替换的标题，关键字:variable-labels能够用来提供一个能够替换的坐标轴标签，如使用一个字符串列表替换x、y和z。例如，对于磨损数据你可使用一下表达式来构建图形来代替上边咱们给出的表达式：

> (spin-plot (list hardness tensile-strength abrasion-loss)
             :title "Abrasion Loss Data"
             :variable-labels (list "Hardness"
                                    "Tensile Strength"
                                    "Abrasion Loss"))
#<Object: 142b29c, prototype = SPIN-PROTO>

函数spin-plot还能够接收关键字参数:scale，若是:scale赋值为t（t也是其默认值），那么数据将三个变量的均值进行中心化，这三个变量都将被尺度化以适应图形尺寸；若是:scale赋值为nil，数据将被假定尺度化为-1到1之间，图形将绕原点旋转。若是你想要以变量的均值来中心化你的图形，而且用相同的量尺度化全部的观测值的话，可使用该表达式：

> (spin-plot 
   (list (/ (- hardness (mean hardness)) 140)
         (/ (- tensile-strength (mean tensile-strength)) 140)
         (/ (- abrasion-loss (mean abrasion-loss)) 140))
   :title "Abrasion Loss Data"
   :variable-labels (list "Hardness"
                          "Tensile Strength"
                          "Abrasion Loss")
   :scale nil)
#<Object: 145f7c0, prototype = SPIN-PROTO>

    每个Lisp-Stat绘图窗口都提供了一个菜单栏，用来与图形进行通讯。使菜单 精确的可用的方式依赖于窗体管理系统。在Macintosh操做系统的XLISP-STAT里，当图形窗口是前置窗口时，图形的菜单是放在菜单栏里的；在XLISP-STAT的X11版本里，窗体上有一个按钮来弹出菜单。可旋转的图形上的菜单容许你改变速度与角度，或者是否使用深度感知，是否显示坐标轴等。默认状况下，图形是使用深度感知的：离观察者近的点总比离观察者远的点绘制的大些。

    大多数窗口系统都有提供一个修改鼠标点击的惯例，目的是区别本次点击是想要开始一次文本选择作点击，仍是想要扩展已存在的选择而作的点击。Macintosh操做系统的处理方式是点击鼠标的时候按下shift键，来发出一个扩展信号。换句话说，shift键就是Macintosh的扩展修改器。在旋转的图形里，不使用扩展修改器的话，在Pitch、Roll或者Yaw方框里点击鼠标将引发图形的旋转。在合适的扩展修改器上一直按着鼠标不放将引发图形不停地旋转甚至是释放鼠标释放以后，旋转将在你再次点击旋转控制面板的时候才会中止（注：经本人测试，该操做在Windows操做系统的XLISP-STAT一样适用）。

练习2.12

略。

练习2.13

略。

2.5.2 散点图矩阵

另外一个绘制变量集的方法是查看变量间全部可能散点图组合矩阵。scatterplot-matrix函数将提供这样一幅图形。使用上节提到的磨损数据，

> (scatterplot-matrix
   (list hardness tensile-strength abrasion-loss)
   :variable-labels
   (list "Hardness" "Tensile Strength" "Abrasion Loss"))
#<Object: 142b78c, prototype = SCATMAT-PROTO>

表达式产生散点图矩阵，如图2.9。

图2.9 磨损数据的散点图矩阵

    "磨损"相对"抗拉强度"那幅图形给了咱们关于这两个变量的联合变量的想法，可是此时"硬度"这个变量也随着点的不一样而不一样。为了得到这3个变量之间关系的理解，咱们最好将“硬度”这个变量固定在一个可变的水平，而后观察当咱们改变硬度这个变量时，"磨损"和"抗拉强度"这两个变量之间的关系是怎样变化的。经过使用两个高亮技术：selecting和brushing，你能够在散点图矩阵里进行诸如此类的探索。

    选择模式. 当鼠标时一个箭头的时候，表示你的图形处于选择模式，这是默认的设置。在这个模式里你能够移动箭头鼠标到一个点上而后点击鼠标来选择一个点。为了选择一组点，能够在目标点上拖出一个选择框。若是某些点不能包含到选择框了，你能够经过“拖选扩展”操做加入那些点，即按住shift键再拖选或点选（Macintosh和Windows操做系统一样适用）。若是你不用扩展修改器（即shift键），任何已选的元素都会变为非选择状态；当你适用扩展修改器时，应经选择的点仍然是选择状态。

    刷模式.你能够经过绘图菜单的Mouse Mode项，在弹出的对话框里选择Brushing来进入刷模式。在这个模式里，光标看起来像一把刷墙的刷子和一个附在它上边的虚线框。当你在图形里移动刷子的时候，在刷子内部的点是高亮的。刷子外的点没有高亮，除非是已经被选中的。为了在刷模式下选择点(让它们永久高亮)，你须要在移动鼠标时保持鼠标按下。

    在图2.10的统计图例，“硬度”变量的中间部分的点已经被用一把长且窄的刷子高亮了。经过使用绘图菜单的Resize Brush命令，能够改变刷子的大小。在磨损对抗拉强度那幅图里，你能够看到高亮的点看起来是沿着一条曲线分布的。若是你想拟合一个模型到这些数据上，本次观测结果建议根据曲率来拟合模型。这与观测这些数据旋转获得的结论是类似的。

    经过选择而高亮数据在旋转的图形中是有用的。经过选定一个变量的一小片具备类似值得数据点，而后旋转它，你能够检测给定的一个固定变量状况下，其它的两个变量的条件分布的三维结构。

    散点图矩阵在检测一个定量变量和几个分类变量之间的关系时是颇有用的。在第2.4.1节里咱们看到了一些关于马铃薯种植的实验数据，这些数据用到了3个马铃薯品种和4种种植密度。图2.11展现了这些数据的散点图。该图使用一个长且窄的刷子来高亮第三个品种的数据点。若是品种和密度之间没有相互做用，那么当刷子从一个品种移动另外一个品种上的时候，高亮点的形状应该大至是以平行的方式移动的。

与spin-plot函数类似，scatterplot-matrix函数也接受可选的关键字参数:title, :variable-labels和:scale。

练习2.14

略。

练习2.15

略。

2.5.3 与单个图形交互

    旋转的图形和散点图矩阵都是交互性的统计绘图。简单的散点图也容许一些交互。若是你选择菜单里的Show Labels选项，挨着高亮点将出现一个标签。你可使用选择模式或刷模式来高亮一个点，默认的标签多是"0", "1", ...这样的形式，大多数绘图函数都容许你使用:point-labels关键字参数来提供一个可替换的标签列表。

    在查看大量数据集的时候有一个选项是颇有用的，那就是移除一部分点，你能够这么作，选择要移除的点，而后选择菜单里的Remove Selection菜单项。使用菜单里的Remove Selection能够完成窗口尺寸的从新调整。

    当选中绘图窗口里的点集时，你可使用Selection Symbol菜单项来改变显示点的符号。若是你的系统支持使用颜色，你可使用Selection Color菜单项来设置选中点的颜色。

    经过绘图窗口菜单的Selection... 菜单项，你能够保存一个变量里当前选中点的指标。而后将弹出对话框让你输入一个名字。当没有选择点时，你可使用Selection...菜单项来指定随后选择的点的指标（注：该功能能够将任意点集编成一组，并经过Selection...菜单项，使用名称来选中、高亮。）。将弹出一个对话框让你输入一个表达式，用来肯定所选点的指标（注：即所选点的符号），这个表达式能够是任意Lisp表达式，能够是单独指标或者指标列表。（注：我的认为这里的指标译为符号更容易理解，实际上就是起个名字）

    图2.12链接了如下两种数据，乙醇相对氧气水平的散点图和针对发酵数据的糖类型指标直方图。来自于同一组的糖是高亮的。

2.5.4 链接图

    当你在散点图矩阵里刷取或选择的时候，你能够看下这组散弹图的其它图形的相互做用。经过选择你想要链接的那个图形的菜单的Link View选项，你能够构建本身的交互图集。例如，2.5.2节练习2.14的数据，咱们能够把乙醇和氧气放到散点图里，把糖放到直方图里。若是咱们链接这两个图形，而后选择直方图里两个糖数据中的一个，散点图里对应的点就会高亮，就像图2.12中显示的那样。

图 2.12 乙醇相对氧气水平的散点图和针对发酵数据的糖类型指标直方图

    若是你想用特定标签来选择数据点，你可使用name-list函数来生成带标签的窗体。这个窗体能够被链接到任何图形里，选择在命名列表里的一个标签，与之链接的那个图形上的相对应的点就会高亮。你可使用带一个数值参数的name-list函数，例如，(name-list 10)产生带有标签"0", ..., "9"的命名列表，你也能够给出一个你本身的命名列表标签。

练习 2.16

略。

2.5.5 修改散点图

    在产生一个数据集的散点图以后，你可能想要加一条线到图形上，例如一条回归线。做为例证，一项自行车道对车手的影响的研究，自行车手到马路中间线的距离，自行车手与正经过的汽车的距离，记录10个自行车手。数据输入以下：

> (def travel-space
       '(12.8 12.9 12.9 13.6 14.5 14.6 15.1 17.5 19.5 20.8))
TRAVEL-SPACE
> (def separation
       '(5.5 6.2 6.3 7.0 7.8 8.3 7.1 10.0 10.8 11.0))
SEPARATION

伴随随机变量separation，能够拟合这些数据的回归线有以下特征：截距为-2.18，斜率为0.66。让咱们看一下如何将这条线加到数据的散点图的。

    咱们可使用以下表达式来产生这些数据点的散点图：

> (plot-points travel-space separation)
#<Object: 1376d30, prototype = SCATTERPLOT-PROTO>

为了能向图形中加线，咱们必须可以在Lisp-Stat中引用到它。为了完成这个任务，咱们能够将plot-points函数返回的结果赋值给一个符号，即：

> (def myplot (plot-points travel-space separation))
MYPLOT

    plot-points函数返回的结果就是一个Lisp-Stat对象。为了使用该对象，你须要向它发送一个消息，这要使用send函数来完成，其通常形式为： (send <object> <message selector> <argument1> ... )

以下表达式将通知myplot添加一条a+bx的线，其中a=-2.18, b=0.66,。<message selector>是:abline这一关键字，数字-2.18和0.66是参数。消息由选择器和参数组成。消息选择器通常是一个Lisp关键字，也就是说它们是一个带冒号的符号。结果见图2.13。

图2.13 带拟合直线的自行车数据散点图

散点图对象还能理解一些其它消息，包括:help消息：

> (send myplot :help)
loading in help file information - this will take a minute ...done
SCATTERPLOT-PROTO
Scatterplot
Help is available on the following:

ABLINE ACTIVATE ADD-FUNCTION ADD-LINES ADD-METHOD ADD-MOUSE-MODE ADD-POINTS ADD-SLOT ADJUST-POINTS-IN-RECT ADJUST-SCREEN ADJUST-SCREEN-POINT ADJUST-TO-DATA ALL-POINTS-SHOWING-P ALL-POINTS-UNMASKED-P ALLOCATE ANY-POINTS-SELECTED-P APPLY-TRANSFORMATION BACK-COLOR BRUSH BUFFER-TO-SCREEN CANVAS-HEIGHT CANVAS-TO-REAL CANVAS-TO-SCALED CANVAS-WIDTH CENTER CHOOSE-MOUSE-MODE CLEAR CLEAR-LINES CLEAR-MASKS CLEAR-POINTS CLICK-RANGE CLIP-RECT CLOSE CONTENT-ORIGIN CONTENT-RECT CONTENT-VARIABLES COPY-TO-CLIP CURRENT-VARIABLES CURSOR CUT-TO-CLIP DELETE-DOCUMENTATION DELETE-METHOD DELETE-MOUSE-MODE DELETE-SLOT DISPOSE DO-CLICK DO-IDLE DO-KEY DO-MOTION DOC-TOPICS DOCUMENTATION DRAG-GREY-RECT DRAW-BITMAP DRAW-BRUSH DRAW-COLOR DRAW-DATA-LINES DRAW-DATA-POINTS DRAW-LINE DRAW-MODE DRAW-POINT DRAW-STRING DRAW-STRING-UP DRAW-SYMBOL DRAW-TEXT DRAW-TEXT-UP ERASE-ARC ERASE-BRUSH ERASE-OVAL ERASE-POLY ERASE-RECT ERASE-SELECTION ERASE-WINDOW FIND FIXED-ASPECT FOCUS-ON-SELECTION FRAME-ARC FRAME-LOCATION FRAME-OVAL FRAME-POLY FRAME-RECT FRAME-SIZE GET-METHOD H-SCROLL-INCS HAS-H-SCROLL HAS-METHOD HAS-SLOT HAS-V-SCROLL HELP HIDE-WINDOW IDLE-ON INTERNAL-DOC ISNEW LINE-TYPE LINE-WIDTH LINESTART-CANVAS-COORDINATE LINESTART-COLOR LINESTART-COORDINATE LINESTART-MASKED LINESTART-NEXT LINESTART-TRANSFORMED-COORDINATE LINESTART-TYPE LINESTART-WIDTH LINKED LOCATION MARGIN MASK-SELECTION MENU METHOD-SELECTORS MOUSE-MODE MOUSE-MODE-TITLE MOUSE-MODES MOVE-BRUSH NEW NUM-LINES NUM-POINTS NUM-VARIABLES OWN-METHODS OWN-SLOTS PAINT-ARC PAINT-OVAL PAINT-POLY PAINT-RECT PARENTS PASTE-FROM-CLIP PASTE-STREAM PASTE-STRING POINT-CANVAS-COORDINATE POINT-COLOR POINT-COORDINATE POINT-HILITED POINT-LABEL POINT-MASKED POINT-SELECTED POINT-SHOWING POINT-STATE POINT-SYMBOL POINT-TRANSFORMED-COORDINATE POINTS-HILITED POINTS-IN-RECT POINTS-SELECTED POINTS-SHOWING PRECEDENCE-LIST PRINT PROTO RANGE REAL-TO-CANVAS REDRAW REDRAW-CONTENT REMOVE REPARENT REPLACE-SYMBOL RESIZE RESIZE-BRUSH RETYPE REVERSE-COLORS ROTATE-2 SCALE SCALE-TO-RANGE SCALE-TYPE SCALED-RANGE SCALED-TO-CANVAS SCREEN-RANGE SCROLL SELECTION SELECTION-DIALOG SELECTION-STREAM SET-MODE-CURSOR SET-OPTIONS SET-SELECTION-COLOR SET-SELECTION-SYMBOL SHIFT SHOW SHOW-ALL-POINTS SHOW-WINDOW SHOWING-LABELS SIZE SLICE-VARIABLE SLOT-NAMES SLOT-VALUE START-BUFFERING TEXT-ASCENT TEXT-DESCENT TEXT-WIDTH TITLE TRANSFORMATION UNDO UNMASK-ALL-POINTS UNSELECT-ALL-POINTS UNSHOW-ALL-POINTS UPDATE USE-COLOR V-SCROLL-INCS VARIABLE-LABEL VIEW-RECT VISIBLE-RANGE WHILE-BUTTON-DOWN X-AXIS Y-AXIS 
NIL

对全部的散点图来讲，它们的主题列表都是类似的，可是对旋转图、散点图矩阵和直方图来讲有一些不一样。

    :clear消息，就像它的名字暗示的那样，它会清除绘制的图形并容许从头开始建立一个新的图形。另外两个有用的消息是:add-points和:add-lines。为了查明如何使用它们，咱们可使用:help消息并将:add-points和:add-lines做为参数：

> (send myplot :help :add-points)
ADD-POINTS
Method args: (points &key point-labels (draw t))
or:          (x y  &key point-labels (draw t))
Adds points to plot. POINTS is a list of sequences, 
POINT-LABELS a list of strings. If DRAW is true the new points
are added to the screen. For a 2D plot POINTS can be replaced
by two sequences X and Y.
NIL

> (send myplot :help :add-lines)
ADD-LINES
Method args: (lines &key type (draw t))
or:          (x y  &key point-labels (draw t))
Adds lines to plot. LINES is a list of sequences, the 
coordinates of the line  starts. TYPE is normal or dashed. If
DRAW is true the new lines are added to the screen. For a 2D
plot LINES can be replaced by two sequences X and Y.
NIL

描述里的术语sequence意思是一个list或者一个vector。

    图2.13里的统计图展现了数据的曲率。在travel-sapce里，separation一次项和二次项的回归计算将产生一些估计系数——常数估值为-16.42，一次项系数估值为2.433，二次项系数估值为-0.05339。让咱们使用:clear, :add-points和:add-lines消息改变myplot对象，用来显示咱们拟合后的二次模型。首先咱们使用表达式定义x来表示从点12到点22之间的50等份的变量，定义y做为这些值的拟合响应。

> (def x (rseq 12 22 50))
X
> (def y (+ -16.42 (* 2.433 x (* -0.05339 (* x x)))))
Y

图2.14 带拟合曲线的自行车数据散点图

而后用下边的表达式将图形改为图2.14的样子。

> (send myplot :clear)
NIL
> (send myplot :add-points travel-space separation)
NIL
> (send myplot :add-lines x y)
NIL

咱们已经使用plot-points来得到一个新的图形，而后又用:add-lines修改了图形，可是这里咱们用到的方法容许咱们尝试全部这3个消息。

2.5.6 动态模拟

做为“经过修改现有统计图形咱们能干什么”的有一个例证，让咱们来构建一个动态模拟来检测变量，这些变量来自于标准正态分布样本的直方图，这个动态模拟就是一个小电影。为了开始，使用以下表达式构建一个单变量的直方图而后保存它的绘图对象为h。

> (def h (histogram (normal-rand 20)))
H

:clear消息对直方图也是可用的，就像咱们在它的帮助信息里看到的那样：

> (send h :help :clear)
CLEAR
Message args: (&key (draw t))
Clears the plot data. If DRAW is nil the plot is redrawn; otherwise its
current screen image remains unchanged.

它带一个可选的关键字函数。若是这个参数是nil，那么统计图不会重画直到一些其它消息致使它重画，这对动态模拟式很重要的。倒换和从新调整窗体大小，直到当你输入命令到解释器时仍能看到直方图窗口为止。（注：其实不用那么麻烦，在菜单栏的windows->Tile直接将全部窗口平铺就好了）而后输入表达式：

> (dotimes (i 50)
           (send h :clear :draw nil)
           (send h :add-points (normal-rand 20)))

这应该能产生一个50个直方图的序列，每个都基于一个大小为20的正态分布样本。经过输入关键字参数:draw并赋值nil给:clear消息，你就能保证每一个直方图都在屏幕上待一下子直到下一个直方图准备绘制的时候。再次运行这个例子，不带这个参数，看看有什么不一样。

    编程实现动态模拟提供了另外一个查看一些变量之间关系的方法。做为一个简单的例子，假设咱们想检测标量abrasion-loss和hardness之间的关系，这些变量来自第2.5.2节。咱们用下边的表达式生成一个abrasion-loss变量的直方图：

> (def h (histogram abrasion-loss))
H

对于动态模拟来讲，:point-selected, :point-hilited和:point-showing消息是颇有用的。如下是直方图里对:point-selected消息的信息：

> (send h :help :point-selected)
POINT-SELECTED
Method args: (point &optional selected)
Sets or returns selection status (true or NIL) of POINT. Sends 
:ADJUST-SCREEN message if states are set. Vectorized.

如此你可使用这个消息检测一个点当前是否是选中状态，也能够选中或者取消选中。再次倒换窗口到输入命令时可以看到直方图，而后键入表达式：

> (dolist (i (order hardness))
          (send h :point-selected i t)
          (send h :point-selected i nil))

表达式(order hardness)将产生一个hardness的有序值列表，从而返回结果的第一个元素是hardness的第一个元素，第二个元素是hardness的第二小的元素，以此类推。对相应数据的循环移动进行选择与取消选择操做。

    屏幕上的结果与从左到右刷hardness变量直方图的结果是类似的，hardness直方图是与abrasion-loss变量的直方图相链接的。这种方法的缺陷就是与用鼠标实现相比，写出表达式很难。换句话说，当你用鼠标刷图形数据的时候，你趋向于将经历集中在你刷的图形上而不是另外一个链接图上。当你运行一个动态模拟图时，当模拟程序运行的时候你什么也不用作，所以能够将全部精力集中在结果上。

    一个中间方案是可行的：你能够设置一个带滚动条的对话框，滚动条的值就是(order hardness)列表的全部值，当它滚动的时候就会选择相应的点，2.7节将展现这种方案如何工做的例子。

    在不少Lisp系统里，就像咱们如今描述的这个模拟器同样，偶尔会停一下子，缘由就是须要垃圾回收机制来动态地回收已经分配的存储单元。虽然说是这样，在一些简单的模拟器里，好比这些迭代器对你来讲，可能仍然太快了而不能捕捉任何处理的形式。为了下降速度，你能够用函数pause来加入一个短的延时，经过使用一个整数n，pause将致使可执行程序的挂起，大约要n/60秒钟，例如，你可使用下式代替前边的表达式：

> (dolist (i (order hardness))
          (send h :point-selected i t)
          (pause 10)
          (send h :point-selected i nil))

这将确保循环将以大概每秒6个的速度穿过数据点。

练习 2.17

略。

练习 2.18

略。

2.6 回归

    回归模型是使用Lisp-Stat的对象和消息传递机制实现的。这在2.5.5节已经介绍了。再继续阅读以前，你可能须要简单复习一下那节内容。

    让咱们来对2.5.5节的自行车数据作一个简单的拟合。因变量是separation，自变量是tranvel-space。为了造成回归模型，可使用regression-mode函数：

> (regression-model travel-space separation)

Least Squares Estimates:

Constant                  -2.18247      (1.05669)
Variable 0                0.660342      (6.747931E-2)

R Squared:                0.922901    
Sigma hat:                0.582108    
Number of cases:                10
Degrees of freedom:              8

#<Object: 141cbbc, prototype = REGRESSION-MODEL-PROTO>

    regression-model函数的基本语法是(regression-model <x> <y>)。对于一个简单的回归模型，<x>能够是一个列表的列表、矢量的列表或者一个矩阵。regression-model函数也包含一些可选参数，包括:intercept, :print和:weights，:intercept和:print的默认参数都是t，想要得到一个没有截距的模型，使用如下表达式：

> (regression-model x y :intercept nil)

为了造成一个带权重的回归模型，使用如下表达式：

> (regression-model x y :weights w)

这里的w是一个与y长度相等的权重列表或权重矢量，假设偏差方差与权重w成反比。

    regression-model函数打印拟合模型的简单概述，而且返回一个模型对象。为了可以进一步检测模型，用如下表达式将返回的模型对象赋给一个变量：

> (def bikes (regression-model travel-space separation :print nil))
BIKES

值为nil的关键字参数:print压缩了咱们看到的模型的概述。为了找出那些消息时可用的，咱们使用:help消息：

> (send bikes :help)
loading in help file information - this will take a minute ...done
REGRESSION-MODEL-PROTO
Normal Linear Regression Model
Help is available on the following:

ADD-METHOD ADD-SLOT BASIS CASE-LABELS COEF-ESTIMATES COEF-STANDARD-ERRORS COMPUTE COOKS-DISTANCES DELETE-DOCUMENTATION DELETE-METHOD DELETE-SLOT DF DISPLAY DOC-TOPICS DOCUMENTATION EXTERNALLY-STUDENTIZED-RESIDUALS FIT-VALUES GET-METHOD HAS-METHOD HAS-SLOT HELP INCLUDED INTERCEPT INTERNAL-DOC ISNEW LEVERAGES METHOD-SELECTORS NEW NUM-CASES NUM-COEFS NUM-INCLUDED OWN-METHODS OWN-SLOTS PARENTS PLOT-BAYES-RESIDUALS PLOT-RESIDUALS PRECEDENCE-LIST PREDICTOR-NAMES PRINT PROTO R-SQUARED RAW-RESIDUALS REPARENT RESIDUAL-SUM-OF-SQUARES RESIDUALS RESPONSE-NAME RETYPE SAVE SHOW SIGMA-HAT SLOT-NAMES SLOT-VALUE STUDENTIZED-RESIDUALS SUM-OF-SQUARES SWEEP-MATRIX TOTAL-SUM-OF-SQUARES WEIGHTS X X-MATRIX XTXINV Y 
NIL

这些消息里不少都是自解释的，不少已经被:display消息使用了，regression-model函数将:display消息发送给新的模型并打印其概述信息。做为一个例子，让咱们试一下:coef-estimates和:coef-standard-errors消息：

> (send bikes :coef-estimates)
(-2.182471511502903 0.6603418619651689)
> (send bikes :coef-standard-errors)
(1.0566881307586837 0.06747931359188968)
>

按理说，若是模型里有截距的话，由这些消息返回的列表里的实体是与截距对应的，当提供给regression-model函数的时候，该截距后边跟着因变量。然而，若是在计算过程当中探测到了退化现象，在拟合过程当中一些变量就不会被使用，在打印的概述信息里它们将被用别名的方式标记出来。已经使用的变量的标度将由:basis消息获取，若是合适的话，由:coef-estimates返回的列表项将与截距对应，与截距一块儿的还有各元素的系数。消息:x-matrix和:xtxinv是类似的。

    :plor-residuals消息产生一个残留的统计图，为了查明残留的统计图针对什么，让咱们看一下它的帮助信息吧：

> (send bikes :help :plot-residuals)
loading in help file information - this will take a minute ...done
PLOT-RESIDUALS
Message args: (&optional x-values)
Opens a window with a plot of the residuals. If X-VALUES are not supplied 
the fitted values are used. The plot can be linked to other plots with the 
link-views function. Returns a plot object.
NIL

使用如下两个表达式，咱们能够构架图2.15所示的两个数据统计图：

> (plot-points travel-space separation)
#<Object: 1350994, prototype = SCATTERPLOT-PROTO>
> (send bikes :plot-residuals travel-space)
#<Object: 1357680, prototype = SCATTERPLOT-PROTO>

图2.15 针对自行车实例链接原始数据和残存图的示意图

经过链接这些统计图（注：使用菜单栏里的plot->link view菜单选项），咱们可使用鼠标在两个统计图里同步识别数据点。图中一个标号为6的点脱颖而出。

    这两幅统计图代表数据是存在曲率的，若是咱们忽略观测点6，残留图的曲率特别明显。为了容许这个曲率的出现，咱们能够试图用二阶项对travel-space变量来拟合出一个模型。

> (def bikes2
       (regression-model (list travel-space (^ travel-space 2))
                         separation))

Least Squares Estimates:

Constant                  -16.4192      (7.84827)
Variable 0                 2.43267      (0.971963)
Variable 1                -5.339121E-2  (2.922567E-2)

R Squared:                0.947792    
Sigma hat:                0.512086    
Number of cases:                10
Degrees of freedom:              7

BIKES2

我使用幂指数函数“^”来计算travel-space变量的平方，即咱们造成了一个多元回归模型，该回归模型的第一个参数是一个自变量的列表。

    从这个点开始你能够向多个方向继续前进，若是你想计算观测点的库克距离（注：统计学专有名词，详见链接），你能够向bikes2对象发送:cooks-distance消息：

> (send bikes2 :cooks-distances)
(0.16667299257295504 0.009185959754912747 0.030268009774083452 0.011098970664932503 0.009584417522457393 0.12066535826085792 0.5819289720128115 0.04601789946507566 0.006404473564781199 0.09400811436381019)

为了检测这个距离，你能够首先计算内部学生化残差，

> (def studres (/ (send bikes2 :residuals)
                  (* (send bikes2 :sigma-hat)
                     (sqrt (- 1 (send bikes2 :leverages))))))
STUDRES

而后再获取距离的方式，

> (* (^ studres 2)
     (/ (send bikes2 :leverages)
        (- 1 (send bikes2 :leverages))
        3))
(0.16667299257295504 0.009185959754912747 0.030268009774083452 0.011098970664932505 0.009584417522457393 0.12066535826085789 0.5819289720128115 0.046017899465075666 0.006404473564781199 0.09400811436381019)

来直接计算它们。第7个数据元素——下标从0开始的观测点6，很明显地脱颖而出。

    检测残留图中可能的异常值的另外一个方法是就是使用贝叶斯残留图，该方法是由Chaloner和Brant倡导的，可使用:plot-bayes-residuals消息得到该功能。如下表达式将产生图2.16所示的统计图。

> (send bikes2 :plot-bayes-residuals)
#<Object: 131b5a0, prototype = SCATTERPLOT-PROTO>

图2.16 自行车数据的贝叶斯残留图

图2.16中条形显示的意思是实际实现偏差的后验分布的±2SD，它基于对回归系数的一个不当的均匀先验分布。（注：这句话可能不太准确，请参照原文），y轴是以σ为单位的。从而本图展现了一个盖然率，数据点6偏离平均值为3或更大标准方差的盖然率大约是3%；偏离平均值至少2个单位标准协方差的盖然率在50%上下。

练习 2.19

略。

练习 2.20

略。

2.7 定义函数和方法

    本节将对Lisp-Stat的一个简洁的介绍。最基础的编程操做是定义函数。与其紧密相关的是为对象定义一个方法。

2.7.1 定义函数

    用来定义函数的特殊形式叫defun，最简单的defun语法形式是 (defun <name> <parameters> <body>)，这里的<name>是一个符号，用来做为函数名，<parameters>是符号的一个列表，命名为参数，<body>表示一个或多个表达式，组成了函数体。例如，假设你想要定义一个函数从一个列表里删除一个元素，函数应该将列表和你想删除的元素的下标做为参数。函数体能够基于上边2.4.3节描述的两个方法中的一种。这里是其中的一个：

> (defun delete-case (x i)
    (select x (remove i (iseq (length x)))))
DELETE-CASE

defun的参数都没有被引用（即没有在符号前加单引号）：defun是一个特殊形式，不须要对参数求值。

    你能够写一个向对象传递消息的函数。这里有一个函数，它带两个回归模型变量参数，假设这些模型是被嵌套的，为了比较这些模型来计算F-统计：

> (defun f-statistic (m1 m2)
	   "Args: (m1 m2)
           Computes the F statistic for testing model m1 within model m2."
	   (let ((ss1 (send m1 :sum-of-squares))
		 (df1 (send m1 :df))
		 (ss2 (send m2 :sum-of-squares))
		 (df2 (send m2 :df)))
	     (/ (/ (- ss1 ss2) (- df1 df2)) (/ ss2 df2))))
F-STATISTIC

这个函数定义使用Lisp的let构造来创建一些局部变量。变量ss1, df1, ss2, df2是为模型参数m1和m2定义的，以后用来计算F统计。参数列表后的字符串叫文档字符串。当defun表达式出现文档字符串的时候，defun将它安装在函数内部供help函数获取。

2.7.2 函数做为参数

    在第2.2.3节中，咱们使用plot-funcion来绘制[-pi, pi]范围内的正弦函数。你可使用相同的方法来绘制你本身的函数。例如，假设你想绘制-2到3范围内的f(x)=2x+x^2的图形，你能够定义一个函数f：

> (defun f (x) (+ (* 2 x) (^ x 2)))
F

而后使用plot-function：

> (plot-function #'f -2 3)

回忆一下，表达式#'f是(function f)的缩写，用来得到与符号f关联的那个Lisp函数。

    使用spin-function你能够构建一个有两个变量的函数的旋转图形，例如，定义f为：

(defun f (x y) (+ (^ x 2) (^ y 2)))
F

那么如下表达式将构建一个自变量x在[-1, 1]内，自变量y在[-1, 1]内的函数f(x, y)=x^2+y^2的函数图像，该图像用6X6网格表示，网格点的数量可使用:num-points关键字改变。结果如图2.17所示。

    contour-function函数的必选参数数量与spin-function函数相同，将产生一个函数参数的轮廓线图。除了:num-points关键字，你也能够赋予contour-function函数:levels关键字，紧跟着一个轮廓等级的列表。

    本例中，不得不定义一个函数仅仅是做为另外一个函数的参数，这种方法有些笨拙。可以写一个产生咱们所需功能的表达式，而后将这个表达式做为plot-function和spin-function的参数，这样可能更方便一些。第3.6.1节将展现如何完成这个任务。

练习 2.21

2.73 绘图动画控制

做为函数使用的另外一种展现，假设在Box-Cox能量变换中（Box-Cox变换是统计建模中经常使用的一种数据变换，用于连续的响应变量不知足正态分布的状况），咱们想检测改变指数对正态几率图形形成的影响。

第一步，定义函数以计算幂转换，并正规化转换结果，使它落在0和1之间：

> (defun bc (x p)
    (let* ((bcx (if (< (abs p) .0001) (log x) (/ (^ x p) p)))
           (min (min bcx))
           (max (max bcx)))
      (/ (- bcx min) (- max min))))
BC

这个定义里使用了let*形式来创建一个局部变量的绑定。let*形式与上边用到的let形式类似，但在一下几点是不一样的，let*顺序地定义变量，容许使用在let*中定义的其它变量来定义一个新的变量，相反地，let并行地建立其分配符。在这种状况下，变量min和max根据bcx来定义。

    而后，咱们须要一个正数集合来作变换，让咱们来使用2.2.1节里介绍的降水量数据样本，咱们须要对观测值进行排序：

> (def x (sort-data precipitation))
X

指望的统一顺序统计的常态分布分位数由下式给出：

> (def nq (normal-quant (/ (iseq 1 30) 31)))
NQ

未经转换的数据的几率统计图由下式构建：

> (def myplot (plot-points nq (bc x 1)))
MYPLOT

由于这里的幂是1，因此函数bc仅仅是对数据进行了尺寸调整。

    为了改变myplot对象的转换中幂的值，咱们能够定义一个change-power函数：

> (defun change-power (p)
    (send myplot :clear :draw nil)
    (send myplot :add-points nq (bc x p)))
CHANGE-POWER

想这样对一个新表达式求值：

> (change-power .5)

而后对新的幂值，实例中的平方根转换，重画统计图，

    咱们可使用不一样的幂值重复这个处理过程，目的是获取转换的影响的感受，不是这个方法是很笨拙的。一个可代替的方法就是设置一个滑动对话框来控制这个幂的值。这个滑动的对话框是一个无模式的对话框，包含一个滑块和一个显示的值域。当滑块移动的时候，显示值改变，同时动做触发。这里的动做由动做函数定义，这个函数使用当前滑块的值做为参数进行调用，每次这个值由用户改变，咱们能够用以下表达式构建针对咱们的问题的一个合适滑块：

> (sequence-slider-dialog (rseq -1 2 31) :action #'change-power)

这个滑块能够经过如下值进行移动, -1.0, -0.8, ..., 1.8, 2.0，每次调用的时候都使用当前的移动滑块获得的幂值。图形和滑块见图2.18所示。

图2.18 一个滑块控制幂转换的统计图

2.7.4 定义方法

    当消息发送给对象的时候，对象系统对象和消息选择器来查找最合适的代码段执行。从而，不一样的对象对相同的消息做出不一样的响应，线性回归模型和非线性回归模型都会对:coef-estimates消息进行响应，可是他们会执行不一样的代码来计算该响应。

    对象使用的用来响应消息的代码叫作方法。对象被组织在层级关系里，在那里对象从它们祖先那里继承其它对象。若是一个对象没有它本身的用来响应消息的方法，它就会使用从祖先那里继承的方法。send函数将提高该对象的祖先的列表的优先级，直到找到针对消息的方法。

    大多数咱们目前接触到的对象都是直接继承自原型对象。Scatterplots（散点图）继承自scatterplot-proto，histograms（直方图）继承自histogram-proto，回归模型对象继承自regression-model-proto。原型对象与其它任何对象都是类似的，它们是定义必定类别的对象的典型版本，这类对象定义了默认的行为。可是任何对象都有一个方法，在调试新方法的过程当中，最好将这个方法链接到独立构建的对象上，达到代替原型的目的。

    defmeth宏用来向对象添加方法。方法定义的通常形式是：(def <object> <selector> <parameters> <body>)，<object>是一个将拥有新方法的对象，参数<selector>是对方法的消息选择关键字，参数<parameters>是方法的参数名列表，<body>是组成方法体的一个或多个表达式。当方法被使用时，这些表达式将按顺序求值。

    做为一个简单的展现，在第2.5.6节咱们使用一个循环运行一个模拟器，在那里咱们在一幅直方图里展现了大小为20的样本序列，该序列来源于一个正态分布。原始的直方图由下式构建：

> (def h (histogram (normal-rand 20)))
H

每次迭代的时候，咱们首先清除直方图，而后增长一个新的样本，经过为新消息定义一个方法，咱们能够简化一下咱们的直方图：

> (defmeth h :new-sample ()
    (send self :clear :draw nil)
    (send self :add-points (normal-rand 20)))
:NEW-SAMPLE

运行50次动画的循环如今能够写成这样：

> (dotimes (i 50) (send h :new-sample))

    在为:new-sample消息的方法定义时须要一点解释，self变量的实用。对象的方法常常须要可以参考获取消息的对象，由于方法能够被继承，在写方法的时候，你可能对接受的对象的标识不是很肯定。所以对象系统使用了一个惯例，当表达式在被求值的消息对应的那个方法的里时，接收对象就是变量self的值。

    如今咱们有一个简单的消息，用来向咱们的直方图发送消息，告诉他显示一条新数据样本。拥有一个发送消息的简单的办法，而不须要向解释器敲入命令，这样好极了。直方图菜单提供了一个方便的工具来达到该目的，表达式是：

> (let ((m (send h :menu))
        (i (send menu-item-proto :new "New Sample"
                 :action #'(lambda () (send h :new-sample)))))
    (send m :append-item i))

向直方图的菜单末端加入一个新的菜单项，每次选中该菜单项的时候都将改变显示的数据样本。在阅读过第6和第7章以后，你将可以理解这个表达式。

2.8 更多模型和技术

    Lisp-Stat为非线性回归模型、最大似然估计和近似贝叶斯推理提供了一些工具。这三个工具集的共同特色是描述一个特定问题所须要的部分信息是函数提供的，例如，一个为非线性回归设立的函数。本节假设你熟悉非线性回归基础，最大似然估计和贝叶斯推理：

2.8.1 非线性回归

    Lisp-Stat容许非线性的正态回归模型。举个例子，Bates和Watts描述了一个变量y和变量x之间关系的试验，变量y表示酶促反应的速度，变量x表示底物浓度。试验中的浓度和观测速度由下式给定，试验中使用嘌呤霉素对酶促反应进行处理：

> (def x1 (list .02 .02 .06 .06 .11 .11 .22 .22 .56 .56 1.1 1.1))
X1
> (def y1 (list 76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200))
Y1
>

对于速度对底物浓度的依赖，米氏函数一般能够提供一个好的模型。

假定在一个给定的浓度水平上，米氏函数表明平均速度，其函数f1定义为：

 

> (defun f1 (theta)
    (/ (* (select theta 0) x1) (+ (select theta 1) x1)))
F1

f1函数将对参数列表theta的平均反应时间的列表进行计算，这是在 数据点x1处作的计算。

    使用这些定义，咱们可使用nreg-model函数构建一个非线性回归模型。首先，咱们须要对两个模型的参数进行初始化估计，为米氏模型检测表达式这一操做显示，当x增加时，米氏函数逼近一条渐近线，θ0。第二个参数θ1能够解释成当函数达到渐近线一半时x的值。利用这些对参数的解释，下式将构造一个统计图，图示见图2.19，咱们能够对θ0读出200，对θ1读出0.1这些合理的初始化估计。

图2.19 酶促反应试验的底物浓度对反应速度的统计图

nreg-model函数须要的参数有平均值函数、响应矢量和参数的初始估计列表。nreg-model函数经过使用一个交互式的算法来计算精确的估计值，这个交互式的算法以初始猜想凯斯，打印结构的概要，并返回一个非线性回归模型对象：

 

> (def puromycin (nreg-model #'f1 y1 (list 200 .1)))
Residual sum of squares: 7964.19
Residual sum of squares: 1593.16
Residual sum of squares: 1201.03
Residual sum of squares: 1195.51
Residual sum of squares: 1195.45
Residual sum of squares: 1195.45
Residual sum of squares: 1195.45
Residual sum of squares: 1195.45

Least Squares Estimates:

Parameter 0                212.684      (6.94715)
Parameter 1                6.412127E-2  (8.280941E-3)

R Squared:                0.961261    
Sigma hat:                 10.9337    
Number of cases:                12
Degrees of freedom:             10

PUROMYCIN

nreg-model函数也带一些关键字参数，包括用:epsilon来制定一个收敛准则，用:count-limit作为迭代次数的极限值，这两个值得默认值分别为0.0001和20。使用值为nil的:verbose关键字来抑制每次迭代过程的的平方和残差信息，使用值为nil的:print关键字将约束概述信息，拟合模型的算法是一个带回溯简单高斯-牛顿算法，导数是经过数值计算的。

    为了使你明了如何进一步分析模型，你能够向puromycin对象发送:help消息。结果与线性回归模型的帮助信息类似。缘由很简单：非线性回归模型是用对象实现的，而非线性回归模型的原型nreg-model-proro是继承自线性回归模型的原型的。内部数据、计算估计值的方法和计算拟合值得方法都作了修改以适应非线性模型，可是其它大多数方法都没有改变。一旦模型完成拟合，预估参数值得平均函数的雅克比矩阵将被定义为X矩阵来使用。在此定义的术语中，大多数针对线性回归的方法，像:coef-standard-errors和:leverages等，仍然是有意义的，至少是一阶逼近的。

    除了能够相应线性回归模型的消息以外，非线性回归模型还能相应如下消息：

•     :COUNT-LIMIT
•     :EPSILON
•     :MEAN-FUNCTION
•     :NEW-INITIAL-GUESS
•     :PARAMETER-NAMES
•     :THETA-HAT
•     :VERBOSE

练习 2.23

略。

练习 2.24

略。

2.8.2 最大和最小似然估计

    Lisp-Stat有两个函数能够求得一些变量的最大似然率。第一个是newtonmax函数，它带一个函数和一个列表或者矢量值来表示初始猜想值，该初始猜想针对最大值的位置，函数试图用基于带回溯的牛顿法来找到最大值。该算法基于Dennis和Schnabel描述的无约束的最小系统。

    举个例子，Proschan描述了定时收集的一些数据，这些数据源自几个飞机场空调单元拓机的时间间隔。其中一个机场的数据输入以下：

> (def x (list 90 10 60 186 61 49 14 24 56 20 79 84 44 59 29 118
               25 156 310 76 26 44 23 62 130 208 70 101 208))
X

这些数据的一个简单的模型做出以下假设：拓机时间间隔是独立随机变量，知足通用gamma分布，gamma分布的密度能够写成这样：

这里的μ是拓机时间的平均值，β是gamma的形状参数，那么该数据样本的log似然函数应该这样给出：

咱们能够定义一个Lisp函数来计算这个log似然函数：

> (defun gllik (theta)
    (let* ((mu (select theta 0))
           (beta (select theta 1))
           (n (length x))
           (bym (* x (/ beta mu))))
      (+ (* n (- (log beta) (log mu) (log-gamma beta)))
         (sum (* (- beta 1) (log bym)))
         (sum (- bym)))))
GLLIK

该定义使用函数log-gamma对log(Γ(β))。

    封闭形式的最大似然几率估计最这个分布的形状参数是不可用的，可是咱们可使用newtonmax函数来用数值方法进行计算。咱们须要一个厨师猜想值用来做为最大似然的起始值。为了得到初始估计，咱们能够计算x的指望和标准方差：

> (mean x)
83.51724137931036
> (standard-deviation x)
70.80588186304823

而后使用矩估计方法估计 ， ，像这样计算：

> (^ (/ (mean x) (standard-deviation x)) 2)
1.3912770125276501

使用这些起始值，咱们能够最大化log似然函数：

> (newtonmax #'gllik (list 83.5 1.4))
maximizing...
Iteration 0.
Criterion value = -155.603
Iteration 1.
Criterion value = -155.354
Iteration 2.
Criterion value = -155.347
Iteration 3.
Criterion value = -155.347
Reason for termination: gradient size is less than gradient tolerance.
(83.51726798264603 1.670986791540375)

一些状态信息打印出来用于继续优化。经过使用值为nil的:verbose关键字，你能够关闭这些信息。

    你可能想要检查这个函数的确接近0的梯度。若是对这个梯度没有一个封闭的表达式的话，你能够用numgrad函数计算一个用数值上的近似值。对于咱们的例子：

> (numgrad #'gllik (list 83.5173 1.67099))
(-4.072480396396883E-7 -1.2576718377326971E-5)

梯度的元素确实至关接近0.

    你也能够计算二阶导数，或者使用numhess函数计算Hessian矩阵。最大似然估计的近似标准差能够这样给定，先对最大值处的Hessian矩阵取负，再求逆矩阵，再去该逆矩阵的对角线元素，最后对其求平方根：

> (sqrt
   (diagonal
    (inverse (- (numhess #'gllik (list 83.5173 1.67099))))))
(11.997551713830456 0.40264778727213846)

    使用newtonmax代替求取最大值，而后分别计算二阶导数。经过使用值为t的关键字参数:return-derivs，你可让newtonmax返回一个元素位置列表，该列表的元素包括最大值、最有函数值、梯度和Hessian矩阵。

    牛顿法假设函数是两次可微的，若是你的函数不平滑，或者若是你由于其它缘由对使用newtonmax存在麻烦。你可能要尝试第二个最大化函数，nelmeadmax函数，该函数接收一个函数和一个初始化猜想值，而后试图用Nelder-Mead单纯形法找打最大值，该方法是由Press、Flannery、Teukolsky和Vetterling描述的。初始猜想值由一个单点组成，它以n个数字的列表或矢量的形式展示。初始猜想值也多是一个单形，即一个n维问题的n+1个点的列表。若是你制定了一个单点，那你也应该使用:size关键字参数去指定一个列表或者矢量，其长度为n，且须要在初始单形的每个维度里指定。这应该展现初始范围的大小，在那个范围里算法将开始它的搜索直到找到最大值，咱们能够在咱们都额gamma例子里使用这个方法：

 

> (nelmeadmax #'gllik (list 83.5 1.4) :size (list 5 0.2))
Value = -155.52959743506827
Value = -155.52959743506827
Value = -155.52959743506827
Value = -155.5294988579447
Value = -155.46938588692785
Value = -155.46938588692785
Value = -155.42198557523471
Value = -155.42198557523471
Value = -155.40996834939776
Value = -155.3866822915446
Value = -155.38103392707978
Value = -155.36281930571423
Value = -155.36281930571423
Value = -155.34979141245745
Value = -155.34979141245745
Value = -155.34935123123307
Value = -155.3470397238531
Value = -155.3470397238531
Value = -155.3469673747863
Value = -155.34689776692113
Value = -155.3468231506837
Value = -155.3468231506837
Value = -155.34680431458563
Value = -155.34680431458563
Value = -155.3467951205185
Value = -155.34679314554154
Value = -155.3467903355422
Value = -155.3467903355422
Value = -155.346789572537
Value = -155.3467892236572
Value = -155.3467892236572
Value = -155.3467892236572
Value = -155.3467892236572
(83.5156874768436 1.6711172274500135)

这个方法与牛顿法相比有些长，可是它确实得到了相同的结果。

练习 2.25

略。

2.8.3 近似贝叶斯计算

    本小节描述的函数能够用来计算后验矩的一阶和二阶近似值，还有一阶边际后验密度的鞍点状近似。基于文献[62,63,64]，近似值假定后验密度是光滑的，而且以单模式为主。

    让咱们从一个简单的例子开始，一份关于白血病患者存活时间和病人体内白细胞数量的关系的研究数据集，该数据以周为单位。该数据由两类病人组成，AG+和AG-型。17个AG+型病人的数据能够输入以下：

> (def wbc-pos (list 2300 750 4300 2600 6000 40500 10000 17000
                     5400 7000 9400 32000 35000 100000 100000
                     52000 100000))
WBC-POS

> (def times-pos (list 65 156 100 134 16 108 121 4 39 143 56
                       26 22 1 1 5 65))
TIMES-POS

高白细胞数量表示处在疾病的比较严重的阶段，也就是存活的机会更低。

    针对这些数据会用到一个模型：假设存活时间是按指数分布的，它带一个平均值参数，该平均值参数使用log-linear方法将"白细胞数量的对数"这一非线性指标进行"对数变换"以获得线性模型，而后它才可用于线性回归模型之中。为了方便，我将对白细胞数量数据扩大10,000倍。也就是说，一个病人白细胞数量WBCi对应的平均存活时间为

这里的xi=log(WBCi/10000)。log似然函数给定为：

这里的yi表明存活时间。计算转换后的WBC变量为：

> (def transformed-wbc-pos (- (log wbc-pos) (log 10000)))
TRANSFORMED-WBC-POS

以后能够用如下函数计算log似然率：

> (defun llik-pos (theta)
    (let* ((x transformed-wbc-pos)
           (y times-pos)
           (theta0 (select theta 0))
           (theta1 (select theta 1))
           (t1x (* theta1 x)))
      (- (sum t1x)
         (* (length x) (log theta0))
         (/ (sum (* y (exp t1x)))
            theta0))))
LLIK-POS

    我将使用一个模糊的、不肯定的先验分布来看待这个问题，该分布在θi>0范围内十个常量；从而，log后验密度与上边构造的log似然函数式等价的，最多多出一个常数。第一步就是用bayes-model函数构造一个贝叶斯模型对象。该函数能够接受一个计算log后验分布密度的函数和这个后验模型的初始猜想数据，该函数经过这个初始猜想数据的交互方法计算后验模型，并打印后验分布信息的简短概述，而后返回一个模型对象。咱们可使用函数llik-pos来计算log后验密度，因此全部咱们能作的就是对后验模型的初始值估计。由于咱们使用的模型假设是一个线性关系，是表示平均存活时间的对数与转换后的WBC变量的线性关系。，对transformed-wbc-pos变量的存活时间的对数的一个线性回归模型应该提供一个合理的估计，该线性回归模型这样给出：

> (regression-model transformed-wbc-pos (log times-pos))

Least Squares Estimates:

Constant                   3.58281      (0.328336)
Variable 0               -0.736302      (0.225778)

R Squared:                0.414869    
Sigma hat:                 1.32459    
Number of cases:                17
Degrees of freedom:             15

#<Object: 13daa98, prototype = REGRESSION-MODEL-PROTO>

因此说模型的合理初始猜想评估值是θ0评估值=exp(3.5)，θ1的评估值=0.8，如今咱们能够将这些评估值放到bayes-model函数里：

> (def lk (bayes-model #'llik-pos (list (exp 3.5) 0.8)))
maximizing...
Iteration 0.
Criterion value = -96.3803
Iteration 1.
Criterion value = -87.4612
Iteration 2.
Criterion value = -85.2634
Iteration 3.
Criterion value = -84.8285
Iteration 4.
Criterion value = -84.7883
Iteration 5.
Criterion value = -84.7877
Iteration 6.
Criterion value = -84.7877
Reason for termination: gradient size is less than gradient tolerance.


First Order Approximations to Posterior Moments:

Parameter 0                60.6309      (15.0481)
Parameter 1               0.390576      (0.175448)

LK

经过使用值为nil的:print关键字参数，来压缩概述信息是可能的。可使用:verbose关键字压缩迭代信息。

    bayes-model函数打印的概述信息给出了参数的后验均值和标准方差的一阶近似值。也就是说均值是由后验模型的元素近似获得的，标准方差是由模型的log后验值得负Hessian矩阵的逆矩阵的对角线元素的平方根获得的。这些近似值也能够经过向模型发送:lstmoments消息来得到：

> (send lk :1stmoments)
((60.63089554959938 0.3905764020242036) (15.048125818750082 0.1754475290888174))

结果是两个列表值的列表结构，它们是平均值列表和标准方差列表。

    一个相对较慢可是通常状况下更精确的二阶近似值也是可用的。它可使用:moments得到：

> (send lk :moments)
((69.89109467010141 0.4033868081199018) (18.577055399066786 0.1829812572509589))
> (send lk :moments (list 0 1))
((69.89109467010141 0.4033868081199018) (18.577055399066786 0.1829812572509589))

    θ0的一阶近似值和二阶近似值有一点不一样，特别是，看起来平均值比模型的大些。这代表参数的后验分布是向右倾斜的，经过查看近似边际后验密度图咱们能够确认这一点。消息:marginl带一个指标参数，还有一个进行密度求值的点数据序列，最后以列表形式返回它的值，该列表的元素就是使用的序列和在这些数据点处的近似密度值。为了产生一个边际密度图，该列表可使用plot-lines函数给出：

> (plot-lines (send lk :margin1 0 (rseq 30 120 30)))
#<Object: 1401734, prototype = SCATTERPLOT-PROTO>

结果见图2.20所示，确实看到图形有些向右倾斜。

图2.20 θ0的近似边际后验分布

    除了检测单独参数，也能够查看参数的光滑函数的后验分布。例如，你可能想问一个WBC=50000的病人存活一年以上的几率，那么该方法包含了什么信息，几率以下：

其中

x=log(5)，能够由如下函数计算：

> (defun lk-sprob (theta)
    (let* ((time 52.0)
           (x (log 5))
           (mu (* (select theta 0)
                  (exp (- (* (select theta 1) x))))))
      (exp (- (/ time mu)))))
LK-SPROB

该函数可使用:1stmoments, :moments和:margin1方法来近似计算函数的后验矩和边际后验密度。对于这些矩的结果是又有不一样而且带有正向的倾斜：

> (send lk :1stmoments #'lk-sprob)
((0.20026961686731173) (0.10757618146651714))
> (send lk :moments #'lk-sprob)
((0.24368499587543843) (0.11571130867154422))

边际密度能够这样表示：

> (plot-lines (send lk :margin1 #'lk-sprob (rseq .01 .8 30)))
#<Object: 13d338c, prototype = SCATTERPLOT-PROTO>

结果以下图：

图2.21 WBC=50000的病人一年存活几率的近似边际后验密度

基于本图，数据显示其存活率几乎确定低于0.5，可是很难作出一个更精确的说法了。

    在本小节描述的函数式基于前一小节的优化的代码。默认状况下，导数是用数值方法计算的。若是你想自行计算导数，你可让你的log后验函数返回这样一个列表，它包含函数值和梯度，或者包含函数值、梯度和Hessian矩阵。在较大的问题里，在作二阶近似的时候可能须要精确的导数值。

练习2.26 

略。

练习2.27

略。