统计学---之样本方差与整体方差的区别

前段日子从新整理了一下这个问题的解答，跟你们分享一下，若是有什么错误的话但愿你们可以提出来，我会及时改正的，话很少说进入正题：

首先，咱们来看一下样本方差的计算公式：

 

                                                    

刚开始接触这个公式的话可能会有一个疑问就是：为何样本方差要除以（n-1）而不是除以n？为了解决这个疑惑，咱们须要具有一点统计学的知识基础，关于整体、样本、指望（均值）、方差的定义以及统计估计量的评选标准。有了这些知识基础以后，咱们会知道样本方差之因此要除以（n-1）是由于这样的方差估计量才是关于整体方差的无偏估计量。这个公式是经过修正下面的方差计算公式而来的：

                         

 

修正过程为：

                             
咱们看到的实际上是修正后的结果：

                            

   对于这种修正的话是有相关的公式推导的。下面都会一一给出。

为了方便叙述，在这里说明好数学符号：

 

前面说过样本方差之因此要除以（n-1）是由于这样的方差估计量才是关于整体方差的无偏估计量。在公式上来说的话就是样本方差的估计量的指望要等于整体方差。以下：

                       

 

可是没有修正的方差公式，它的指望是不等于整体方差的

                            

也就是说，样本方差估计量若是是用没有修正的方差公式来估计总计方差的话是有误差的

下面给出比较好理解的公式推导过程：

      

 

也就是说，除非不然必定会有

                    

须要注意的是不等式右边的才是的对方差的“正确”估计，可是咱们是不知道真正的整体均值是多少的，只能经过样本的均值来代替整体的均值。因此样本方差估计量若是是用没有修正的方差公式来估计总计方差的话是会有误差，是会低估了整体的样本方差的。为了能无误差的估计整体方差，因此要对方差计算公式进行修正，修正公式以下：

                     
   这种修正后的估计量将是整体方差的无偏估计量，下面将会给出这种修正的一个来源；

为了能搞懂这种修正是怎么来的，首先咱们得有下面几个等式：

1.方差计算公式：  

             

2. 均值的均值、方差计算公式：

             

对于没有修正的方差计算公式咱们有： 

 

由于：

                  

 

因此有：

                  

 

在这里若是想修正的方差公式，让修正后的方差公式求出的方差的指望为整体方差的话就须要在没有修正的方差公式前面加上来进行修正，即：

                  
因此就会有这样的修正公式：

                  

而咱们看到的都是修正后的最终结果：

                       

这就解释了为何要对方差计算公式进行修正，且为何要这样修正。

上面的解释若是有什么错误，或者有哪些解释不正确的地方欢迎你们指正。谢谢你们。但愿能对你们有点帮助。

转载：http://blog.csdn.net/fuming2021118535/article/details/51290320