如何计算图的最短路径？

算法导论(MIT 6.006 第15讲 第16讲 第17讲)

最短路径的定义是什么？

最短路径即拥有最小权重的路径p;
路径定义： p=<$v_0$,$v_0$,...,$v_k$>, 其中当$0\leq i<k$时，有 ($v_i$,$v_{i+1}$) $\in$ E;
路径的权重：w(p)=$\Sigma{^{k-1}_{i=0}}w(v_i,v_{i+1})$ ;

加上权重的数学表示方式

1. 边存在权重的图：G(V,E,W) ,W是一个函数，做用于边，生成一个实数，即W(E)->R
2. 顶点到自身的路径：($V_0$)表示从($V_0$)到($V_0$)的路径，权重是0
3. 两个顶点之间的最短路径：
   $\delta(u,v)=\lbrace{^{min\lbrace w(p)\rbrace{\quad} u,v之间存在路径}_{\infty{\qquad}u,v以前不存在路径}} $

E与V的关系 E=O($V^2$ )。对于有向图来说，假设有两个顶点，v1,v2，他们之间只有4种链接状况，依次类推

为何会有负的权重？

好比社交网络上的喜欢能够看作是正的权重，比喜欢能够看作是负的权重

负权重的边带来什么问题？

若是存在一个带有负权重的边，那么每通过一个循环，会减小原有的权重值，这样形成的现象是能够获得任何能够获得的权重值。好比路径p=<S,A>权重是4,可是路径p=<S,A,C,B,A>权重是3

最短路径算法的通常思路是什么？

d(v) 表示从源点s到当前节点v的路径权重 ,$\pi[v]$表示当前最好的路径上，v的前一个节点 ，经过这种方式就能重构整个最短路径

针对没有负权重的环

1. 初始化 d[v] = $\infty$ ,$\pi[u]$=NIL,d[s]=0
2. 经过某种方式选择边(u,v)，执行Relax操做，去更新源点到选择的顶点的当前路径值，以及选择顶点的前一个节点

Relax(u,v,w):
    select edge(u,v):
        if d[v]>d[u]+w(u,v):
            d[v]=d[u]+w(u,v)
            PI[v]=u
    until all edges have d[v] <= d[u]+w(u,v)

relax操做的过程当中会不会产生一个一个比 $\delta$(s,v)还要小的值？

经过概括法，假设有 d[u] $\geq$ $\delta$(s,u)。已知的是$\delta(s,v)$表示s到v的最短路径，那么任意一个到v的顶点u和源点s到u的最短路径一定大于等于$\delta(s,v)$，也就是
$$\delta(s,v)\leq\delta(s,u)+w(u,v)$$
经过前面的假设，则一定有 $\delta(s,v)\leq d[u]+w(u,v)=d[v]$ 。这说明，中间的过程的任意一个阶段产生的结果d[v]都不会比$\delta$(s,v)还要小

最短路径算法的通常思路问题一：错误的选边致使复杂度为指数级别

构造以下结构的图

边的权值按照$2^{n/2}$方式分配，图中给出的6个点的示例，若是所有显示的边($v_0$,$v_2$)的权值为$2^{n/2}$,并依次递减到1

假设源点为$v_0$,初始化选择的路径以下,能够获得从源点到各个点的路径长度。

此时，Relax($v_4$,$v_6$)的边,会更新$v_0$到$v_6$的路径长度为13

再Relax($v_2$,$v_4$)的边,会更新$v_0$到$v_4$的路径长度为10

因为新$v_0$到$v_4$的路径长度变短，那么($v_0$,$v_5$)的路径会变短为11

这个时候有可能先选的执行Relax的边是 ($v_5$,$v_6$)，那么($v_0$,$v_6$)的路径会变短为12

再次Relax边($v_4$,$v_6$)，那么($v_0$,$v_6$)的路径会变短为11

针对有n个顶点的状况：

• 首先Relax($v_{n-2}$,$v_{n}$),使得d[$v_n$]减1
• 再Relax($v_{n-4}$,$v_{n-2}$)，使得d[$v_{n-2}$]减2
• 而后Relax($v_{n-2}$,$v_{n-1}$)和($v_{n-1}$,$v_{n}$)使得d[$v_n$]减1
• 再执行Relax($v_{n-2}$,$v_{n}$),使得d[$v_n$]减1

可发现，当Relax的边($v_{n-2}$,$v_{n}$)权重为1的时候，使得顶点d($v_n$)减1；当Relax边($v_{n-4}$,$v_{n-2}$)权重为2的时候，使得顶点d($v_n$)减2，也就是从权重按照 1,2,4,...,$2^{(n/2)-1}$,$2^{(n/2)}$的方式执行的过程当中，d($v_n$)须要执行减小的总次数为1+2+4+...+$2^{(n/2)}$=$2^{(n/2)}-1$，也就是说，会执行的次数为指数级别

最短路径算法的通常思路问题二：负权重环

若是在源点到目标节点通过的路径上，通过环会致使权重减小，这个算法不会结束

如何获取有向无环图（DAG）中，单个源点到某个点的最短路径？

DAG表示只是没有环，能够存在负边权重

1. 对DAG进行拓扑排序，这样保证了u到v的路径必定是u在v以前
2. 找到源点，按照从左到右，DAG排列的顺序，对通过的每一个顶点进行Relax操做，便获得了源点到全部顶点的最短路径

假设排序好的拓扑图以下,对于初始化时，每一个源点到每一个节点的距离都认为是 $\infty$

第一步从源点往下走，找到它的全部的边，对边执行Relax操做

源点执行完毕，而后按照拓扑排列的顺序，从左往右执行，因为Relax只更改小于的状况，所以只有最后两个节点的路径值被更新

继续往右执行Relax

继续往右执行Relax

至此执行完毕，能够看到源点到全部节点的最短路径，从左到右分别是 $\infty$,0,2,6,5,3

若是图中有环，可是通过这个环不会致使权重减小，如何计算最短路径？

使用Dijkstra算法。伪代码算法以下：

Dijkstra(G,w,s): //G是图，w是权值，s是源点
    Initialize(G,s) // 初始化，设置d[s]=0,其它都是无穷，以及PI
    S <- {}    //已知最短路径的点的集合
    Q <- V[G]  //须要被处理的顶点，能够看作是一个最小优先级队列，根据d()值进行排序
    while Q is not empty: //只要还有没处理的节点
        u <- Extract-Min(Q) //从节点中找出一个最小的路径权重的节点，并从Q中移除
        S <- S U {u} //将找到的节点并到S中
        for each vertex v belong to Adj
            Relax(u,v,w) //对边的d()值进行更新

例子以下，选择A为源点

1. 进行初始化，从A到其它节点的距离都是$\infty$,即 S={} ，Q={A(0),B($\infty$),C($\infty$),D($\infty$),E($\infty$)}；
2. 获取队列中的最小值，此时是A自己，此时S={A(0)},而后进行一次Relax操做，即发现A能达到的顶点为B,C，更新后队列中的值为 Q={B(10),C(3),D($\infty$),E($\infty$)};
3. 获取队列中的最小值，此时是C，S={A(0),C(3)},对选择的C作Relax,C能到达的节点为B,D,E，相应队列更新为:Q={B(7),D(11),E(5)};
4. 获取队列的最小值，此时是E，S={A(0),C(3),E(5)},对选择的E作Relax,E能到的节点为D,因为比现有的D值要大，因此没有更新，Q={B(7),D(11)};
5. 获取队列的最小值，此时是B，此时S={A(0),C(3),E(5),B(7)},B能到达的只剩下D了，B到D获得的值为9，要小，更新Q={D(9)}
6. 获取队列最小的值，此时是D，此时S={{A(0),C(3),E(5),B(7)，D(9)},至此结束。

括号中的值表示路径距离

Dijkstra算法的时间复杂度

全部的耗时操做包括：

• 将全部的顶点插入优先级队列中，耗时为 $\theta(V)$;
• 从优先级队列中提取一个最小的值，耗时为$\theta(V)$;
• Relax操做对边进行d值减小，耗时为$\theta(E)$;

实现优先级队列方式不一样，耗时不一样

1. 使用Array。 提取最小值花销：$\theta(V)$，Relax对d值进行减小$\theta(1)$，操做全部的队列中的元素，那么时间就是 $\theta(V*V+E*1)$=$\theta(V^2)$
2. 使用最小堆。提取最小值花销:$\theta(\lg V)$,减小key的花销$\theta(\lg V)$,操做全部的队列中的元素，那么时间就是 $\theta(V*\lg V+E*\lg V)$
3. 使用Fibonacci堆，提取最小值花销:$\theta(\lg V)$,减小key的花销$\theta(1)$，能到达$\theta(V*\lg V+E)$

最直观的使用Dijkstra的感觉是：如下图为例：
假设绿色的点是源点，若是用这样长度的绳子将各个节点链接起来，那么拎起绿色的球，从上往下悬挂，那些蹦直的线相加就是源点到各个点的最短距离，好比绿色是源点，到其它点的最短距离分别是 7,12,18,22(颜色依次是紫色、蓝色、黄色、红色)

为何Dijkstra不能处理负权重环的问题？

Dikstra不会去看已经处理好的节点，只会处理没有看到的节点，若是已经处理的节点都是最小的值，再不存在负权重环的状况下，是不会出现使得路径变小的状况。详见：https://stackoverflow.com/que...

若是在源点到目标节点通过的路径上，有通过环且会致使权重减小，怎么处理最短路径问题？

使用Bellman-Ford算法。

Bellman-Ford(G,w,s):
    Initialuze(G,s)
    for i=1 to |V|-1:
        for each edge(u,v) belong to E:
            Relax(u,v,w)
    for each edge (u,v) belong to E:
        if d[v]>d[u]+w(u,v)
            report negative cycle exist

Bellman-Ford最终提供的是，若是没有负权重的环，那么能返回最短路径（d[v]=$\delta(s,v)$），不然只是检测出存在负权重的环

耗时分析

两个for循环，分别为V，E，因此时间复杂度就是O(VE)

为何Bellman-Ford算法在不存在负权重环的状况下可以计算最小路径？

只须要证实，若是不存在负权重的环，那么通过Bellman-Ford有d[v]=$\delta(s,v)$。

取一条拥有最少边的最短路径p=<$v_0$,$v_1$,...,$v_k$>，其中$v_0$为s,$v_k$=v。 若是不存在负权重的环，那么说明p是一条简单路径，这代表，k$\leq$|V|-1。

这里也不多是一个正环，即每通过这个环，权重增长，若是是那么它就不是最短路径了

当进行第一次循环的时候，取到的边($v_0$,$v_1$)进行了Relax,那么有 delta(s,$v_1$)=d[$v_1$]
进行第二次循环，取到的边($v_1$,$v_2$)进行了Relax,那么有delta(s,$v_2$)=d[$v_2$]
那么通过k轮循环以后，有delta(s,$v_k$)=d[$v_k$],也就是说通过了|V|-1轮循环以后，每一个从源点可达的顶点都计算了最短路径

简单路径（simple path）：指除了起点和终点以外，其它顶点不会重复。对于简单路径p=<$v_0$,$v_1$,...,$v_k$>来说，若是k>=|V|，那么路径上总的顶点数是|V|+1，但实际只有 |V|个顶点，那么一定存在一条重复的边，使得非起点终点重复了，也就是说他不是简单路径了

为何Bellman-Ford算法能检测负权重环？

通过|V|-1轮循环以后，若是还有一条边可以Relax,那么当前从s到v的最短路径并非简单路径，由于全部的节点都已经看过了，这时候确定存在了重复的节点，也就是说存在一个负权重的环

若是对一个路径上有环，且全部权重值都是负权重，那么使用Bellman-Ford算法能获得最长路径吗？

不能，由于Bellman-Ford对于存在负权重的环的时候只会抛出异常，并无计算路径，这实际是一个N-P的问题，即花的时间在指数级别或者之上

相似的，若是要求不通过负权重的环的状况下，计算最短路径，也并非件容易的事情