第二十二讲 对角化分解和幂公式

一，对角化分解

$A=S\Lambda S^{-1}$

$S^{-1}AS=\Lambda$
A表示具备n个线性无关的x（特征向量）的矩阵
S表示由x组成的可逆方阵，称做特征向量矩阵
$\Lambda$表示由A的λ（特征值）做为对角元素的对角矩阵
比较：A=LU（消元化分解），A=QR（正交化分解）

二，矩阵的幂公式

$A^{k}=S\Lambda ^{k}S^{-1}$

$A^{k}x=\lambda ^{k}x$

A和 $A^{k}$具备相同的特征向量
若是全部λ均知足|λ|<1，那么当k→∞时， $A^{k}$→0

三，从特征值判断矩阵是否可对角化

性质1：若是A的λ各不相同，那么A的x都线性无关，可对角化

性质2：若是A有相同的λ，那么没法肯定A的x是否线性无关

若是A是单位矩阵，λ都=1，而x都线性无关
若是A是退化矩阵（上一讲），λ相同，但x只有一个

四，应用：求解差分方程 $u_{k+1}=Au_{k}$

前提：A可对角化

根据方程规律可导出： $u_{k+1}=Au_{k}=A^{k+1}u_{0}$

所以，方程的通解： $u_{k}=A^{k}u_{0}$

将初始条件 $u_{0}$带入，便可得特解:

第一步：根据上一讲的方法，求出A的Λ和S
第二步：将 $u_{0}$分解成 $u_{0}=S\Lambda _{u}$， $\Lambda _{u}$表示 $u_{0}$特征值对角矩阵
第三步：根据已知条件S，求出 $\Lambda _{u}$
第四步：根据幂公式， $A^{k}u_{0}=S\Lambda ^{k}S^{-1}u_{0}=S\Lambda ^{k}S^{-1}S\Lambda _{u}=S\Lambda ^{k}\Lambda _{u}$
第五步：得特解， $u_{k}=S\Lambda ^{k}\Lambda _{u}$

五，应用：求解斐波那契数列通项公式 $F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}$， $F_{100}$的值

第一步，创建方程组： $\left\{\begin{matrix}F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}\\ F_{k+1}=F_{k+1}\end{matrix}\right.$

第二步，化为矩阵： $\begin{bmatrix}F_{k+2}\\ F_{k+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &amp; 1\\ 1 &amp; 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F_{k+1}\\ F_{k}\end{bmatrix}$

第三步，化为标准型： $u_{k+1}=Au_{k}$

$u_{k+1}=\begin{bmatrix}F_{k+2}\\ F_{k+1}\end{bmatrix}$， $u_{k}=\begin{bmatrix}F_{k+1}\\ F_{k}\end{bmatrix}$， $A=\begin{bmatrix}1 &amp; 1\\ 1 &amp; 0\end{bmatrix}$

第四步，根据上一节的方法求特解 $u_{99}=S\Lambda ^{99}\Lambda _{u}$

$F_{100}$为 $u_{99}$第一行的值
此例中， $\left | \lambda _{1} \right |&gt; 1$， $\left | \lambda _{2} \right |&lt; 1$，所以当k→∞时， $\lambda _{1}^{k}→\infty$对应的解为稳态解， $\lambda _{2}^{k} →0$对应的解为暂态解