最短路径问题
单源最短路径
- 问题
- 最优子结构
- 最短路径性质
- 三角不等式
- 有负环的图不存在最短路径
- Relaxation
- Bellan-ford算法
- Bellan-ford算法的改进思路
- Dijkstra’s Algorithm
问题
给定一个加权有向图G，找出从一个给定源点s到其他各点v的最短路径。
最优子结构
最短路径由最短子路径组成。
证明：
suppose some subpath is not a shortest path
○ There must then exist a shorter subpath
○ Could substitute the shorter subpath for a shorter path
○ But then overall path is not shortest path. Contradiction
最短路径性质
三角不等式
证明：
1）若x在u，v的最短路径上，则取等号；
2）若不在，则假设大于，那么两个小路径相加得到比u、v原最短路径更短的路径，那么这与（u，v）为最短路径相驳，故必不取大于号。
综上，得证。
有负环的图不存在最短路径
因为一直走负环则总权重越来越小，可不断变小，无法确定最小值，故无最短路径。
Relaxation
Bellan-ford算法
时间复杂度：O（VE）
循环|V|-1次，每次对每条边做Relaxation。
Bellan-ford算法的改进思路
由拓扑排序找出可能的最短路径，即找出可能的路径顺序，进行有意义的迭代relax，减少无意义的迭代。
Dijkstra’s Algorithm
介绍
若图中无负环，则必bellman-ford算法更好。其实对于有向图才有意义。
● Similar to breadth-first search
■ Grow a tree gradually, advancing from vertices
taken from a queue
● Also similar to Prim’s algorithm for MST
■ Use a priority queue keyed on d[v]
1.初始化所有点的d值即key值为无穷大。
2.当Q不为空，每次取出Q中d值即key最小的点，对他的邻接点进行松弛操作，更新key值，直至Q为空。
时间复杂度
算法的时间复杂度（取决于数据结构）：
A: O(E lg V) using binary heap for Q
Can acheive O(V lg V + E) with Fibonacci heaps
迪杰斯特拉复杂度分析:
1)while + ExtractMin: VlgV
2)while + for +Decreasekey: ElgV
3)总： VlgV + ElgV=O(ElgV) (因为：V比E小)
证明算法的正确性
Correctness: we must show that when u is
removed from Q, it has already converged。
证明：
定理：所有未找到最短路径的节点中，键值最小的节点的最短路径值等于键值，并且其最短路径为初始节点到确定其键值的节点再到它。
引理：
此为证明不可能在S集合外有一点y存在于u的最短路径上（du为S外最小值）