单纯形法简介

原理

考虑目标函数，

maxz=3x1+4x2

增加 x1 和 x2 的值都将改进 z 的值，单纯形法的设计要求每次都选择使 z 值有最大改善的那个变量。意味着在上述目标函数中，首先选择增加 x2 的值。

基础

通过对问题约束施加以下两项要求来方便单纯形法的计算：
1. 所有的约束都是等式，并且具有非负右端项
2. 所有变量都是非负的

松弛化

将不等式转化为带有非负右端项的等式约束

• 为了把 ≤ 不等式约束转换为等式约束，在不等式的左端，增加非负的松弛变量。
• 把 ≥ 不等式约束转换为等式约束，在不等式的左端，减去非负的剩余变量。

基本术语

在 m∗n 阶方程组定义的解空间中，基本解对应解空间的角点，设定 n−m 个变量等于零，求解剩下的 m 个变量的 m 阶方程组。因此角点的最大数目为 Cmn 。其中 n−m 个零变量称为非基变量，剩余 m 个变量称为基变量。

实例

maxz=5x1+4x2s.t.⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪6x1+4x2≤24x1+2x2≤6−x1+x1≤1x2≤2x1,x2≥0

松弛化后，

maxz=5x1+4x2+0s1+0s2+0s3+0s4s.t.⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪6x1+4x2+s1=24x1+2x2+s2=6−x1+x1+s3=1x2+s4=2x1,x2,s1,s2,s3,s4≥0

初始单纯形表表示为：

目标函数 z=5x1+4x2 表明， x1 作为进基变量，可以最大程度增 z ， x1 成为进基变量后，当前的某个基变量就必须离开，变成取值为零的非基变量。确定离基变量的技巧，计算方程的右端项与相应的在进基变量 x1 下方约束系数的非负比(实际上计算的比值是这些约束关于进基变量 x1 轴的截距)，

基s1s2s3s4进基变量61−10解24612比值246=461=61−1=−1(分母为负不考虑)20=∞(分母为0不考虑)

进基变量和离基变量的交换过程由高斯-若尔当行计算完成。其中进基变量所在列为枢轴列，离基变量所在行为枢轴行，处于枢轴行列交叉位置的元素为枢轴元素(高斯-若尔当行计算具体步骤看基本步骤部分)。由此得到新的单纯形表，

第三次迭代得到最优结果，

基本步骤

• 最优性条件 在极大化(极小化)问题中，进基变量是 z 行中具有最小负值(最大正值)系数的非基变量，如有多个则选其一。当非基变量的所有 z 行系数是非负(非正)时，迭代达到最优。
• 可行性条件 对于极大化问题和极小化问题，离基变量都是具有最小非负比(有严格正分母)的基变量。
• 高斯-若尔当行计算
  
  1. 枢轴行。
     (a) 在基列中，用进基变量替换离基变量。
     (b) 新的枢轴行 = 当前枢轴行 / 枢轴元素
  2. 包括 z 的所有其他行
     新行 = 当前行 - 枢轴列元素 * 新的枢轴行

单纯形法的步骤如下：
S1: 确定初始基本可行解
S2: 用最优性条件选择一个进基变量。如果没有进基变量，停止计算，上一个解就是最优的。否则，转到S3.
S3: 用可行性条件选择离基变量。
S4: 用高斯-若尔当运算确定新的基本解，转到S2。

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