数论知识总结-线性筛

数论知识总结-线性筛

NOIP爆零の蒟蒻又来学数论辣

注：下文p都是质数

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线性筛素数

也叫欧拉筛？

int pr[maxn];bool flg[maxn];
int main(){
    for(rg int i=2;i<maxn;++i){
        if(!flg[i])pr[++pr[0]]=i;
        for(rg int j=1;i*pr[j]<=n&&j<=pr[0];++j){
            flg[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0)break;//重点
        }
    }
}

这样筛的话，若合数$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}(p_1<p_2<\cdots<p_k)$，则$n$会在$i=n/p_1,pr[j]=p_1$处被筛去，也只会在这里被筛去。也就是说，每一个数都会被它最小的质因子筛去。if(i%pr[j]==0)break;这句话保证了复杂度。

没了？

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线性筛积性函数

积性函数就是定义在$\mathbb{Z^+}$上的函数，且对于任何一对互质的正整数$x,y$知足$f(x)f(y)=f(xy)$，根据定义必定知足$f(1)=1$

然而我只会一丁点，之后再补

筛这个必须深入理解线性筛的过程

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线性筛欧拉函数

有点点麻烦。

首先，$\phi(p)=p-1$

而后，将合数$n$分解成$n=px$（p是n最小的质因子），

若$p\nmid x$则$\phi(n)=\phi(x)\times\frac{p-1}{p}\times\frac{n}{x}=\phi(x)\times(p-1)$

不然$\phi(n)=\phi(x)\times\frac{n}{x}=\phi(x)\times p$

int phi[maxn],pr[maxn];bool flg[maxn];
main(){
	phi[1]=1;
    for(rg int i=2;i<maxn;++i){
        if(!flg[i])pr[++pr[0]]=i,phi[i]=i-1;
        for(rg int j=1;i*pr[j]<maxn&&j<=pr[0];++j){
            flg[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0){phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break;}
            phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
        }
    }
}

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线性筛莫比乌斯函数

这个很好办。

首先，$\mu(p)=-1$

而后，将合数$n$分解成$n=px$（p是n最小的质因子），

若$p\nmid x$则$\mu(n)=-\mu(x)$

不然$\mu(n)=0$

int mu[maxn],pr[maxn];bool flg[maxn];
main(){
    mu[1]=1;
    for(rg int i=2;i<maxn;++i){
        if(!flg[i])pr[++pr[0]]=i,mu[i]=-1;
        for(rg int j=1;i*pr[j]<maxn&&j<=pr[0];++j){
            flg[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0){mu[i*pr[j]]=0;break;}
            mu[i*pr[j]]=-mu[i];
        }
    }

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线性筛前N个数的约数个数

极其麻烦。

这个好像叫$d$函数

看$d=(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$

然而还不行，你还要记这个数的$a_1$（定义在上面）记为$f$

首先，$d(p)=2,f(p)=1$

而后，将合数$n$分解成$n=px$（p是n最小的质因子），

若$p\nmid x$则$d(n)=2d(x),f(n)=1$（d乘2至关因而要不要新选p）

不然$f(n)=f(x)+1,d(n)=d(x)*\frac{f(n)+1}{f(x)+1}$

（我好像把这个套路粘了两遍）

int pr[maxn],d[maxn],f[maxn];bool flg[maxn];
int main(){
    int n=gi();
    for(rg int i=1;i<=n;++i)d[i]=1;
    for(rg int i=2;i<=n;++i){
        if(!flg[i])pr[++pr[0]]=i,d[i]=2,f[i]=1;
        for(rg int j=1;i*pr[j]<=n&&j<=pr[0];++j){
            flg[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0){
                f[i*pr[j]]=f[i]+1;
                d[i*pr[j]]=d[i]/(f[i]+1)*f[i*pr[j]];
                break;
            }
            f[i*pr[j]]=1;
            d[i*pr[j]]=d[i]*2;
        }
    }
}