「解题报告」Codeforces Round #722 (Div. 1)

 

A. Parsa's Humongous Tree

既然是 \(A\) 题，那么想简单点好，直接猜取值只多是左端点或者右端点，\(\rm{DP}\) 就行？

证实考虑合并子树的时候确定是数轴上的点和当前点的距离和，不太显然取端点比中间的点不劣

B. Kavi on Pairing Duty

设 \(\rm{dp[i]}\) 表示前 \(i\) 对圆弧的方案，那么转移分两种

• 全部圆弧长度相同：\(d_i\)

• 外侧放若干个长度相同的大圆弧，中间放小的：\(\sum_{j<i} dp_j\)

直接前缀和优化作到 \(\Theta(n)\)

我的认为有组合的方法，可是预处理 \(\binom xy\) 就须要 \(\Theta(N)\) 就不必了

C.Trees of Tranquillity

确实是手速题

多看一会就能发如今 \(A\) 树上选择的点是一条链，那么直接 \(\rm{DFS}\) 同时回溯的时候撤销贡献就行

那么贪心加点，在 \(B\) 树上若是子树里面有点就不加，若是根链上面有选中的点就把那个点撤销

写一个重链剖分+线段树就行了

D. It's a bird! No, it's a plane! No, it's AaParsa!

若是只能走不能停就冲 \(\rm{Floyd}\) 等等就行，而对于等待是等效于花费 \(1\) 的代价从 \(x\) 走到 \(x+1\)，那么建一把虚边

直接使用不优化的 \(\rm{Dijsktra}\)，先把当前的源点处理掉

对于每轮扫出来的点，更新连出去的有向边的同时用虚边松弛便可

E.Mashtali and Hagh Trees

如何看待我对着这东西只想到了外向树？

条件三表示要求的是：外向树，内向树，内向树+根之间的边+外向树

下面又是 \(\rm{DP}\) 之美：先求度数小于等于 \(2\) 的部分的 \(f[i]\)，且只求内向树

枚举根的前驱的状况获得一个转移：

 

\[f_x=f_{x-1}\sum\limits_{j=0}^{i=2} f_j+f_{x-1}+\binom {f_{x-1}+1}2 \]

 

第一项是表示根的两个儿子的深度不一样，最后一个是深度相同，这里不能直接乘

中间是度数为 \(1\)，那么最后纯内向/外向树的答案和上面的相似，度数为三的而已

这里不可贵到根的度数只能是 \(2\) 的 \(g_i=f_i-f_{i-1}\)

注意减掉纯链的状况，此时把外向树翻转就是内向树

对于不是纯外向/内向树的图形强行钦定外向树的根的度数是 \(2\)，使用 \(g_i\) 进行统计，也就是 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1}f_ig_{n-i-1}\)

F. AmShZ Farm

处理这种问题的 常见 思路是把序列新加入一个点，变成一个长度为 \(n+1\) 的环，也就是所谓的 序列转等几率环模型

对于每一个新加入的 \(i\) 从 \(a_i\) 开始走，走到没有被占据的地方停，若是说最后剩下 \(n+1\) 号点没有被占据则说明序列是合法的

关注到图形变成环了，那么 每一个点空出来的几率都是同样的，为 \(\frac{1}{n+1}\)，这个等几率对于任意一个序列都能知足

考虑这样一个性质：将一个合法的序列每一个元素 \(+1,+2,\dots +n\) 能获得一个不合法的序列，可是颜色的相对顺序不变

那么直接获得全部序列的总答案再除以 \(n+1\) 便可获得合法序列的答案

直接堆一波式子：

 

\[\sum_{i=0}^n i^k\binom ni i! n^{n-i} \]

 

有没有很是熟悉？这不就是统一省选 \(\rm{2020}\ Day1T2\) 吗？

直接使用第二类斯特林数展开 \(i^k\) 而后用二项式把后面的组合数缩进去，再平移一把，把价值为 \(0\) 的数舍去就好了

最后使用 \(\rm{NTT}\) 完成一行斯特林数的计算便可